Le Modèle Géométrique Direct (MGD)
L'objectif du MGD est de passer de l'espace articulaire à l'espace cartésion. $[\theta_x \theta_y \theta_z P_x P_y P_z]^T=MGD(q)$Les degrés de liberté de l'articulation permettent de définit la transformation d'un repère $i$ dans son repère antécédent $i-1$:
$^{i-1}T_i$
Le MGD se calcule via :
$^0T_{eff}=^0T_1\cdot ^1T_2\cdots ^{i-1}T_i \cdots ^{i-1}T_{eff}\cdot$
Placement des axes et diffétentes méthdes de calcul
Pour définir un transformation entre deux repère, il faut 6 paramètre (3 rotations, 3 translations).La méthode Denavit Hartenberg Modifié (Khalil Kleinfinger) permet la transformation grâce à quatre paramètres.
Pour cela il faut définir les axes suivants certaines règles :
- Le repère $R_i$ est lié au corps $i$,
- l'axe $z_i$ est porté par l'ariculation $i$,
- l'axe $x_i$ est porté par la normale commune à $z_i$ et $z_{i+1}$,
- l'axe $y_i$ est choisi de manière à ce que le repère soit direct : $y_i=z_j \wedge x_i$
Paramètres de la convention Khalil Kleinfinger
Pour passer d'un repère $R_{i-1}$ au repère $R_i$ on définit :
- un angle $\alpha_i$ autour de $x_{i-1}$ entre les axes $z_{i-1}$ et $z_i$,
- la distrance $d_i$ entre $z_{i-1}$ et $z_i$ suivant l'axe $x_{i-1}$,
- un angle $\theta_i$ autour de $z_i$ entre $x_{i-1}$ et $x_i$,
- la distrance $r_i$ entre $x_{i-1}$ et $x_i$ suivant l'axe $z_i$.
- Si l’articulation $i$ est de type rotoïdes, alors $\theta_i$ est variable et les autres paramètres sont constants.
- La variable articulaire $q_j$ associée à la $j^{ieme}$ articulation est définie par $q_j = (1-\delta_j) \cdot \theta_j + \delta_j \cdot r_j$
avec :
$\delta_j = 0$ si l’articulation j est rotoïde
$\delta_j = 1$ si l’articulation est prismatique
La matrice de Transformation globale :
$^{i-1}T_i=Rot(x,\alpha_i) Trans(x,d_i) Rot(z,\theta_i) Trans (z,r_i)$
$^{i-1}T_i=\begin{bmatrix} \cos {\theta_i} & -\sin {\theta_i} & 0 & d_i \\ \cos {\alpha_i} \sin {\theta_i} & \cos {\alpha_i} \cos {\theta_i} & -\sin {\alpha_i} & -r_i \sin {\alpha_i} \\ \sin {\alpha_i} \sin {\theta_i} & \sin {\alpha_i} \cos {\theta_i} & \cos {\alpha_i} & r_i \cos {\alpha_i} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$
Repérage d’après DHM (Denavit Hartenberg Modifié)
Paramétrage selon DHM
| Articulation | αi | di | θi | ri |
|---|---|---|---|---|
| 1 | &s; | r1 | ||
| 2 | 90° | q2 | ||
| 3 | d3 | q3 | ||
| 4 | 90° | d4 | q4 | r4 |
| 5 | 90° | q5 | ||
| 6 | 90° | d6 | q6 | r6 |
Les données :
| Articulation | αi | di | θi | ri |
|---|---|---|---|---|
| 1 | q1 | 166,3 | ||
| 2 | 90° | q2 | ||
| 3 | 221,33 | q3 | ||
| 4 | 90° | 32,5 | q4 | 235/td> |
| 5 | 90° | q5 | ||
| 6 | 90° | 9,25 | q6 | 47,7 |
Détermination du modèle géométrique direct
Détermination des matrices de passages intermédiaires
La matrice de passage générique dans la convention de Denavit Hartenberg Modifié est la suivante :$^{i-1}T_i=\begin{bmatrix} \cos {\theta_i} & -\sin {\theta_i} & 0 & d_i \\ \cos {\alpha_i} \sin {\theta_i} & \cos {\alpha_i} \cos {\theta_i} & -\sin {\alpha_i} & -r_i \sin {\alpha_i} \\ \sin {\alpha_i} \sin {\theta_i} & \sin {\alpha_i} \cos {\theta_i} & \cos {\alpha_i} & r_i \cos {\alpha_i} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$
Calcule les six matrices de passage.
| $^0T_1=\begin{bmatrix} c_1 & -s_1 & 0 & 0 \\ s_1 & c_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & r_1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$ | $^1T_2=\begin{bmatrix} c_2 & -s_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ s_2 & c_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$ | $^2T_3=\begin{bmatrix} c_3 & -s_3 & 0 & d_3 \\ s_3 & c_3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$ |
| $^3T_4=\begin{bmatrix} c_4 & -s_4 & 0 & d_4 \\ 0 & 0 & -1 & -r_4 \\ s_4 & c_4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$ | $^4T_5=\begin{bmatrix} c_5 & -s_5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ s_5 & c_5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$ | $^5T_6=\begin{bmatrix} c_6 & -s_6 & 0 & d_6 \\ 0 & 0 & -1 & -r_6 \\ s_6 & c_6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$ |
Détermination du modèle géométrique direct
$U_0=^0T_1\cdot ^1T_2\cdot ^2T_3\cdot ^3T_4\cdot ^4T_5\cdot ^5T_6$$^0T_2$
$^0T_2=\begin{bmatrix} c_1\cdot c_2 & -c_1\cdot s_2 & s_1 & 0\\ s_1\cdot c_2 & -s_1\cdot s_2 & -c_1 & 0\\ s_2 & c_2 & 0 & r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$^0T_3$
$^0T_3=\begin{bmatrix} c_1\cdot (c_2\cdot c_3-s_2\cdot s_3) & -c_1\cdot (c_2\cdot s_3+s_2\cdot c_3) & s_1 & c_1\cdot c_2\cdot d_3\\ s_1\cdot (c_2\cdot c_3-s_2\cdot s_3) & -s_1\cdot (c_2\cdot s_3+s_2\cdot c_3) & -c_1 & s_1\cdot c_2\cdot d_3\\ s_2\cdot c_3+c_2\cdot s_3 & -s_2\cdot s_3+c_2\cdot c_3 & 0 & s_2\cdot d_3+r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$Comme =$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
$s_{23} = \sin \theta_2 \cos \theta_3 + \cos \theta_2 \sin \theta_3$
$\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B$
$c_{23}=\cos \theta_2 \cos \theta_3 – \sin \theta_2 \sin \theta_3$
$^0T_3=\begin{bmatrix} c_1\cdot c_{23} & -c_1\cdot s_{23} & s_1 & c_1\cdot c_2\cdot d_3\\ s_1\cdot c_{23} & -s_1\cdot s_{23} & -c_1 & s_1\cdot c_2\cdot d_3\\ s_{23} & c_{23} & 0 & s_2\cdot d_3+r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
$^0T_4$
$^0T_4=\begin{bmatrix} c_1c_{23}c_4+s_1s_4 & -c_1c_{23}s_4+s_1c_4 & c_1s_{23} & c_1c_{23}d_4+c_1s_{23}r_4+c_1c_2d_3\\ s_1c_{23}c_4-c_1s_4 & -s_1c_{23}s_4-c_1c_4 & s_1s_{23} & s_1c_{23}d_4+s_1s_{23}r_4+s_1c_2d_3\\ s_{23}c_4 & -s_{23}s_4 & -c_{23} & s_{23}d_4-c_{23}r_4+s_2d_3+r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$^0T_5$
$^0T_5=\begin{bmatrix} (c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5 & -(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)s_5+c_1s_{23}c_5 & c_1c_{23}s_4-s_1c_4 & c_1c_{23}d_4+c_1s_{23}r_4+c_1c_2d_3\\ (s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5 & -(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)s_5+s_1s_{23}c_5 & s_1c_{23}s_4+c_1c_4 & s_1c_{23}d_4+s_1s_{23}r_4+s_1c_2d_3\\ s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5 & -s_{23}c_4s_5-c_{23}c_5 & s_{23}s_4 & s_{23}d_4-c_{23}r_4+s_2d_3+r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$^0T_6$
$^0T_6=\begin{bmatrix} [(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]c_6+(c_1c_{23}s_4-s_1c_4)s_6 & -[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]s_6+(c_1c_{23}s_4-s_1c_4)c_6 & (c_1c_{23}c_4+s_1s_4)s_5-c_1s_{23}c_5 & [(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]d_6+[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)s_5-c_1s_{23}c_5]r_6+c_1c_{23}d_4+c_1s_{23}r_4+c_1c_2d_3\\ [(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]c_6+(s_1c_{23}s_4+c_1c_4)s_6 & -[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]s_6+(s_1c_{23}s_4+c_1c_4)c_6 & (s_1c_{23}c_4-c_1s_4)s_5-s_1s_{23}c_5 & [(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]d_6+[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)s_5+s_1s_{23}c_5]r_6+s_1c_{23}d_4+s_1s_{23}r_4+s_1c_2d_3\\ (s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)c_6+(s_{23}s_4)s_6 & -(s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)s_6+(s_{23}s_4)c_6 & s_{23}c_4s_5+c_{23}c_5 & (s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)d_6+(s_{23}c_4s_5+c_{23}c_5)r_6+s_{23}d_4-c_{23}r_4+s_2d_3+r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$Équation du modèle géométrique direct
$^0T_6=\begin{bmatrix} S_x & N_x & A_x & P_x\\ S_y & N_y & A_y & P_y\\ S_z & N_z & A_z & P_z\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$S_x=[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]c_6+(c_1c_{23}s_4-s_1c_4)s_6$
$S_y=[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]c_6+(s_1c_{23}s_4+c_1c_4)s_6$
$S_z=(s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)c_6+(s_{23}s_4)s_6$
$N_x=-[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]s_6+(c_1c_{23}s_4-s_1c_4)c_6$
$N_y=-[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]s_6+(s_1c_{23}s_4+c_1c_4)c_6$
$N_z=-(s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)s_6+(s_{23}s_4)c_6$
$A_x=(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)s_5-c_1s_{23}c_5$
$A_y=(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)s_5-s_1s_{23}c_5$
$A_z=s_{23}c_4s_5+c_{23}c_5$
$P_x=[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]d_6+[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)s_5-c_1s_{23}c_5]r_6+c_1c_{23}d_4+c_1s_{23}r_4+c_1c_2d_3$
$P_y=[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]d_6+[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)s_5+s_1s_{23}c_5]r_6+s_1c_{23}d_4+s_1s_{23}r_4+s_1c_2d_3$
$P_z=(s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)d_6+(s_{23}c_4s_5+c_{23}c_5)r_6+s_{23}d_4-c_{23}r_4+s_2d_3+r_1$
Placement des repères et notation pour le robot Staubli
Repérage d’après DHM (Denavit Hartenberg Modifié)
Paramétrage selon DHM
| Articulation | $\alpha_i$ | $d_i$ | $\theta_i$ | $r_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | $\theta_1$ | 0 |
| 2 | $\pi/2$ | 0 | $\theta_2$ | 0 |
| 3 | 0 | $D_3$ | $\theta_3$ | 0 |
| 4 | $-\pi/2$ | 0 | $\theta_4$ | $R_4$ |
| 5 | $\pi/2$ | 0 | $\theta_5$ | 0 |
| 6 | $-\pi/2$ | 0 | $\theta_6$ | 0 |
Rappel d'opérations sur les Matrices
Rappel sur les matrices de rotations
Si les angles $\alpha$, $\beta$, et $\gamma$ sont respectivements les angles autour de $\vec x$,$\vec y$ et $\vec z$ les matrices de rotation sont les suivantes:$\begin{array}{c c c} Rot_X(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \alpha & -sin \alpha \\ 0 & sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} & Rot_Y(\beta)=\begin{pmatrix} cos \beta & 0 & sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin \beta & 0 & cos \beta \end{pmatrix} & Rot_Z(\gamma)=\begin{pmatrix} cos \gamma & -sin \gamma & 0 \\ sin \gamma & cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \end{array}$
représente une rotation dont le lacet, le tangage et le roulis (également appelé angles de Cardan) ou en aéronautique (z:)Azimuth=lacet=yaw - $\alpha$ ; (y:)Tanguage=pitch - $\gamma$; (x:)Roulis=roll - $\beta$
Produit de matrice
$\forall i,j:c_{{ij}}=\sum_{{k=1}}^{n}a_{{ik}}b_{{kj}}=a_{{i1}}b_{{1j}}+a_{{i2}}b_{{2j}}+\cdots +a_{{in}}b_{{nj}}$Soit le produit de deux matrices $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ de type $(m,n)$ noté $A\cdot B=(c_{ij})$, est une matrice de type $(m,n)$ donnée par $c_{ij}=a_{ij}\times b_{ij}$
Exemple :
$A_{ij}\cdot B_{ij} =C_{ij}$
$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4\\ 1 & 0 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 2 & 3\\ 4 & 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 2\\ 7 & 5 & 0 & 8 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\2 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=$
$=\tiny\begin{pmatrix} (1\times 5+3\times 7+2\times 2+4\times 2) & (1\times 0+3\times 5+2\times 1+4\times 1) & (1\times 0+3\times 0+2\times 1+4\times 1) & (1\times 2+3\times 8+2\times 1+4\times 0) \\ (1\times 5+0\times 7+0\times 2+2\times 2) & (1\times 0+0\times 5+0\times 1+2\times 1) & (1\times 0+0\times 0+0\times 1+2\times 1) & (1\times 2+0\times 8+0\times 1+2\times 0) \\ (1\times 5+2\times 7+2\times 2+3\times 2) & (1\times 0+2\times 5+2\times 1+3\times 1) & (1\times 0+2\times 0+2\times 1+3\times 1) & (1\times 2+2\times 8+2\times 1+3\times 1)\\ (4\times 5+3\times 7+5\times 2+1\times 2) & (4\times 0+3\times 5+5\times 1+1\times 1) & (4\times 0+3\times 0+5\times 1+1\times 1) & (4\times 2+3\times 8+5\times 1+1\times 0) \end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix} 38 & 21 & 6 & 28 \\ 9 & 2 & 2 & 2 \\ 29 & 15 & 5 & 20 \\ 53 & 21 & 6 & 37 \end{pmatrix}$
Transposé de matrice
C'est une opération simple, ou l'on inverse les lignes et les colonnes$A=\begin{pmatrix} 38 & 21 & 6 & 28 \\ 9 & 2 & 2 & 2 \\ 29 & 15 & 5 & 20 \\ 53 & 21 & 6 & 37\\ \end{pmatrix}$
$A^T=\begin{pmatrix} 38 & 9 & 29 & 53 \\ 21 & 2 & 15 & 21 \\ 6 & 2 & 5 & 6 \\ 28 & 2 & 20 & 37 \\ \end{pmatrix}$
Le cofacteur Coef
de la forme $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$La methode sera la même pour exprimer les thermes.
Exemple du cofacteur $C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}$ cela tiens compte du signe. $C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}$. C'est bien la somme des cofacteurs qui donne le determinant.
Exemple avec des valeurs
$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$| $C_{11}=+\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=0\times 2-0\times 2=0$ | $C_{12}=-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-(1\times 2-0\times 1)=-2$ | $C_{13}=+\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\times 2-0\times 1=2$ |
| $C_{21}=-\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=-(3\times 2-2\times 2)=-2$ | $C_{22}=+\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\times 2-1\times 2=0$ | $C_{23}=-\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-(1\times 2-3\times 1)=1$ |
| $C_{31}=+\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}=3\times 0-2\times 0=0$ | $C_{32}=-\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-(1\times 0-2\times 1)=2$ | $C_{33}=+\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=1\times 0-3\times 1=-3$ |
La matrice adjointe Adj
La matrice adjointe n’est rien d’autre que la matrice cofacteur de A transposé. Elle se note : $Adj(A)=(Coef(A))^T$Pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$Adj(A)=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$
Le déterminant d'une matrice
Le déterminant d’une matrice n’existe que pour les matrices carrées.Pour calculer le déterminant, il faut faure la somme des cofacteurs, le resultat est un scalaire, donc un nombre
$det(A)=a{11}\cdot C_{11}+a{12}\cdot C_{12}+a{13}\cdot C_{13}+a{21}\cdot C_{21}+a{22}\cdot C_{22}+a{23}\cdot C_{23}+a{31}\cdot C_{31}+a{32}\cdot C_{32}+a{33}\cdot C_{33}$
Pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$det(A)=0+(-2)+2+(-2)+0+1+0+2+(-3)=-2$
L'inverse d'une matice
Pour calculer l'inverse d'un matrice, il nous faut son déterminant et sa matrice adjointe.L'inverse d'un matrice obéit à l'équation $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$, pour rappel $I_n$ est la matrice unité de la forme $I_n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\times Adj(A)$
Pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\times\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -0.5 & 1.5 \end{pmatrix}$
Matice pseudo-inverse
Cette matrice à pour objectif d'un approximation des moindres carrés, il y a plus de d'équation que de variable, la matrice est donc rectangulaire.La matrice pseudo-inverse ou inverse de Moore-Penrose, notée $A^+=(A^T\cdot A)^{-1}A^T$
Pour $A=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
$A^+=\Biggl(\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\Biggl)^{-1}\times \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$
$A^+=\begin{bmatrix} 9 & -16 \\ -16 & 29 \end{bmatrix}^{-1}\times \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$
$A^+=\begin{bmatrix} \dfrac{29}{5} & \dfrac{16}{5} \\ \dfrac{16}{5} & \dfrac{9}{5} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$
$A^+=\begin{bmatrix} \dfrac{-3}{5} & -2 & \dfrac{-6}{5} \\ \dfrac{-2}{5} & -1 & \dfrac{-4}{5}\end{bmatrix}$
Rappel sur la trigonométrie
Rappel sur les propriétés remarquables
$\sin^2t + \cos^2t = 1$$\sin(-A)=-\sin(A)$
$\cos(-A)=\cos(A)$
$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$\sin (A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B $
$\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $
$\cos (A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
$\sin 2A = 2\cdot \sin A \cos A $
$\cos 2A = \cos^2 A – \sin^2 A$
Rappel sur les dérivés trigonométrie
$\cos(A)'=-\sin(A)$$\sin(A)'=cos(A)$
$\cos(u)'=-u'\cdot \sin(u)$
$\sin(u)'=u'\cdot \cos(u)$
Rappel sur les droites
Deux droites perpendiculaires$y=a_1\cdot x+b_1$
$y=a_2\cdot x+b_2$
$a_1\cdot a_2=-1$
Distance entre deux droites parallèles
$dist=\dfrac{\left|b_1-b_2\right|}{\sqrt{a^2+1}}$
Solution d'une système linéaire
n inconnues, n équations
Pour une approche de résolution d'équations classiques, par la méthode matriciel, nous avons autant d'inconnues que de solutions$\Biggl\{ \begin{array}{c} 5x+2y=16\\ 4x+3y=17 \end{array}$ donne $A=\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3\end{bmatrix}$ ; $B=\begin{bmatrix} 16 \\ 17\end{bmatrix}$ ; $X=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
$A\cdot X=B$ donc $X=\dfrac{B}{A}$ soit $X=B\cdot A^{-1}$
$A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B$ donne $\boldsymbol{X=A^{-1}\cdot B}$ ou $A^{-1}$est la matrice inverse de A.
$A^{-1}=\begin{bmatrix} \dfrac{3}{7} & -\dfrac{2}{7} \\ -\dfrac{4}{7} & \dfrac{5}{7}\end{bmatrix}$
$X=B\cdot A^{-1}=\begin{bmatrix} \dfrac{3}{7} & -\dfrac{2}{7} \\ -\dfrac{4}{7} & \dfrac{5}{7}\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 16 \\ 17\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3\end{bmatrix}$
La solution de l'équation est $x=2$ et $y=3$
Système surdéterminé
Un système est dit surdéterminé si il y a plus d'équations que d'inconnues.Exemple avec la recherche d'une droite des moindres carrés, à partir d'un nuage de point, recherche de la droite la plus significative.
$\Biggl\{ \begin{array}{c} x+3y=17 \\ 5x+7y=19 \\ 11x+13y=23 \end{array}$ donne $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ 11 & 13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 17 \\ 19 \\ 23\end{bmatrix}$
Comme la matrice n'est pas carrée, l'approche par la matrice inverse ne fonctionne pas.
La solution, la matrice pseudo-inverse ou inverse de Moore-Penrose, notée $A^+=(A^T\cdot A)^{-1}A^T$
$A \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$, alors $(A^T\cdot A)\cdot x=A^T\cdot b$, ce qui donne $x=(A^T\cdot A)^{-1}A^T\cdot b$ soit $x=A^+\times b$
$A^+=\Biggl( \begin{bmatrix} 1 & 5 & 11 \\ 3 & 7 & 13 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ 11 & 13 \end{bmatrix}\Biggl)^{-1}\times \begin{bmatrix} 1 & 5 & 11 \\ 3 & 7 & 13 \end{bmatrix} $
$A^+=\begin{bmatrix} 147 & 181 \\ 181 & 227 \end{bmatrix}^{-1}\times \begin{bmatrix} 1 & 5 & 11 \\ 3 & 7 & 13 \end{bmatrix} $
$A^+=\begin{bmatrix} \dfrac{227}{608} & \dfrac{-181}{608} \\ \dfrac{-181}{608} & \dfrac{147}{608} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1 & 5 & 11 \\ 3 & 7 & 13 \end{bmatrix} $
$A^+=\begin{bmatrix} \dfrac{-316}{608} & \dfrac{-132}{608} & \dfrac{144}{608} \\ \dfrac{260}{608} & \dfrac{124}{608} & \dfrac{-80}{608} \end{bmatrix}$
Vérification de la matrice :
$A^+\times A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, nous sommes bien sur la matrice d'identité
Recherche de la solution approchante :
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=A^+\times b=\begin{bmatrix} -0.5197 & -0.2171 & 0.23684 \\ 0.4276 & 0.2039 & -0.1316 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 17 \\ 19 \\ 23\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -7.513 \\ -8.1184\end{bmatrix}$
On reprends chaque équation avec les valeurs de x et y
$\Biggl\{ \begin{array}{c} -7.513+3\times -8.1184 & =16.84 & \approx 17 \\ 5\times -7.513+7\times -8.1184 & =19.26 & \approx 19\\ 11\times -7.513+13\times -8.1184 & =22.89 & \approx 23\end{array}$