Les schémas blocs
Pour un système asservi, nous nous interresseront à la gonction de transfert ou transmitance :
On note $x(t)$ le signal d'entrée et $y(t)$ le signal de sortie : $X(p)$ et $Y(p)$ sont les transformées de Laplace respectives de $x(t)$ et $y(t)$. Chaque système linéaire peut être caractérisé par sa fonction
de transfert $H(p)$. Soit un système linéaire, continu et invariant décrit par l'équation differentielle suivante :
$a_0y(t)+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+\cdots+a_n\dfrac{d^ny(t)}{dt^n}=b_0x(t)+b_1\dfrac{dx(t)}{dt}+\cdots+b_n\dfrac{d^nx(t)}{dt^n}$ (1)
avec les conditions initiales nulles.
En appliquant la transformée de Laplace à l'équation 1, on obtient :
$(a_0+a_1\cdot p + \cdots + a_n\cdot p^n)Y (p) = (b_0 + b_1\cdot p + \dots + b_m\cdot p^m)X(p)$
$H(p)=\dfrac{Y(p)}{X(p)}=\dfrac{b_0 + b_1\cdot p + \dots + b_m\cdot p^m}{a_0+a_1\cdot p + \cdots + a_n\cdot p^n}$ noté $\dfrac{N(p)}{D(p)}$
- Les zéros du système sont les valeurs de $p$ qui annulent $N(p)$.
- Les pôles du système sont les valeurs de $p$ qui annulent $D(p)$.
- Un système qui possède un pôle $p = 0$ est dit intégrateur.
- Un système qui possède un zéro $p = 0$ est dit dérivateur.
- $D(p) = 0$ est l'équation caractéristique de l'équation différentielle sans second membre. c'est l'équation caractéristique du système.
- $ n $ est l'ordre du système.
Un système en boucle ouverte est un système où le signal de commande est indépendant du signal de sortie.
Un système en boucle fermée est un système où le signal de commande dépend d'une façon ou d'une autre du signal de sortie.
Fonction de transfert en boucle ouverte :
$T(p) = G(p)H(p)$ donc $F(p) =\dfrac{H(p)}{1 + T(p)}$
L'équation caractéristique d'un système : (polynôme en $p$)
$E_c(p) = Numerateur [1 + T(p)]$
Classe du système asservi
$T(p)=\dfrac{k}{p^\alpha}=\dfrac{1 + b_1\cdot p + \dots + b_m\cdot p^m}{1+a_1\cdot p + \cdots + a_n\cdot p^n}$- $\alpha$ : classe du système dont la FTBO est $T(p)$
- $k$ : gain statique en boucle ouverte.
Stabilité
Un système d'équation caractéristique $E_c(p)$ telle que : $E_c(p)=a_0+a_1\cdot p + \cdots + a_n\cdot p^n$est stable si toutes les racines de $E_c(p)$ sont à parties réelles strictement négatives ou sont des pôles imaginaires purs simples non nuls.
Exemple
$E_c(p) = 4 + 6p + 3p^2 \longrightarrow $ système stable$E_c(p) = (p - 3)(4 + 6p + 3p^2) \longrightarrow $ système instable
Fonction de transfert en boucle fermée :
Un système bouclé comprend au moins une boucle de rétroaction, destinée à ce que le signal d’entrée ait une action tempérée par le signal de sortie. L’objectif est souvent de permettre au système de réagir au mieux, sans action extérieure.
On constate que le comparateur réalise une simple soustraction.
$\epsilon$ est appelé signal d’erreur
$H(p)$ est la fonction de transfert de la chaîne directe.
$G(p)$ est la fonction de transfert de la chaîne de retour.
Fonction de transfert en boucle fermée :
$(1)\epsilon(p)=X(p)-G(p)\cdot Y(p)$$(2)Y(p)=\epsilon(p)\cdot H(p)$
$Y(p)=[X(p)-G(p)\cdot Y(p)] H(p)$
$\dfrac{1}{H(p)}=\dfrac{X(p)-G(p)\cdot Y(p)}{Y(p)}$
$\dfrac{1}{H(p)}=\dfrac{X(p)}{Y(p)}-G(p)$
$\dfrac{1}{H(p)}+G(p)=\dfrac{X(p)}{Y(p)}$
$\dfrac{X(p)}{Y(p)}=\dfrac{1+G(p)\cdot H(p)}{H(p)}$
$F(p)=\dfrac{Y(p)}{X(p)}=\dfrac{H(p)}{1+G(p)\cdot H(p)}$
Fonctions de transfert particulières à connaître
On se place ici dans les conditions de Heaviside.Système à action proportionnelle
$s(t)=K\cdot e(t)$ donc $S(p)=K\cdot E(p)$Forme canonique de la fonction de transfert : $H(p)=K$
Système intégrateur
$\dfrac{d~s(t)}{dt}=K\cdot e(t)$, donc $S(p)=\dfrac{K}{p}\cdot E(p)$Forme canonique de la fonction de transfert : $H(p)=\dfrac{K}{p}$
Système de premier ordre
$\tau\dfrac{d~s(t)}{dt}+s(t)=K\cdot e(t)$ donc $\tau\cdot p\cdot S(p)+S(p)=K\cdot E(p)$Forme canonique de la fonction de transfert : $H(p)=\dfrac{K}{1+\tau\cdot p}$
avec : $K$ gain statique et $\tau$ constante de temps (en secondes).
Système de second ordre
$\dfrac{d^2~s(t)}{dt^2}-2m\cdot \omega_0 \dfrac{d~s(t)}{dt}+\omega^2_0=K\cdot \omega_0^2 e(t)$,donc $p^2 S(p)+2m\cdot \omega_0 p S(p)+\omega_0^2S(p)=K\omega^2_0\cdot E(p)$
Forme canonique de la fonction de transfert : $H(p)=\dfrac{K}{1+\dfrac{2m}{\omega_0}p+\dfrac{1}{\omega_0^2}p^2}$
avec : $K$ gain statique, $\omega_0$ pulsation propre (en radians par seconde) et $m$ coefficient d'amortissement (sans unité).
Remarque : Le polynôme de degré 2 au dénominateur peut s'écrire $(p-p1)(p-p2)$ avec $p1$ et $p2$ les pôles de la fonction de transfert.
Les tranformées de Laplace
| Fonction origine $x(t)$ | Fonction image $X(p)$ | Fonction origine $x(t)$ | Fonction image $X(p)$ |
| Impulsion de Dirac $\delta (t)$ | $1$ | $t^n (n \in \mathbb{N})$ | $\dfrac{n!}{p^{n+1}}$ |
| Echelon $1\cdot u(t)$ | $\dfrac{1}{p}$ | $e^{\alpha t}$ | $\dfrac{p(p-\alpha)}{(p-\alpha)^2+\beta^2}$ |
| Rampe $t\cdot u(t)$ | $\dfrac{1}{p^2}$ | Dérivée $f(t)'$ | $pF(p)-f(0)$ |
| Echelon $A \cdot u(t) $ | $\dfrac{A}{p}$ | Dérivée $f(t)''$ | $p^2F(p)-pf(0)-f'(0)$ |
| Rampe $at\cdot u(t)$ | $\dfrac{a}{p^2}$ | Dérivée $f(t)^(n)$ | $p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)$ |
| $e^{-a \cdot t}\cdot u(t)$ | $\dfrac{1}{p+a}$ | $t\cdot e^{-a \cdot t} \cdot u(t)$ | $\dfrac{1}{(p+a)^2}$ |
| $sin(\omega t) \cdot u(t)$ | $\dfrac{\omega}{p^2+\omega^2}$ | $cos(\omega t) \cdot u(t)$ | $\dfrac{p}{p^2+\omega^2}$ |
| $e^{-a \cdot t} \cdot sin(\omega t) \cdot u(t)$ | $\dfrac{p+a}{(p+a)^2+\omega^2}$ | $e^{-a \cdot t} \cdot cos(\omega t) \cdot u(t)$ | $\dfrac{\omega}{(p+a)^2+\omega^2}$ |
| $sinh (\omega t)$ | $\dfrac{\omega}{p^2-\omega^2}$ | $cosh (\omega t)$ | $\dfrac{p}{p^2-\omega^2}$ |
Exemple de résolution de tranformée de Laplace
Résoudre l'équation différentielle en utilisant la transformation de Laplace :
$y\prime\prime+5y\prime+6y=0$ avec $y(0)=2$ et $y\prime(0)=3$Développer
Résoudre l'équation différentielle en utilisant la transformation de Laplace :
$y \prime +\frac{y}{2}=17\cdot sin(2\cdot t)$ avec $y(0)=-1$Développer
Résoudre l'équation différentielle en utilisant la transformation de Laplace :
$y\prime \prime+k y\prime-2k^2y=0$ avec $y(0)=2$ et $y\prime(0)=2k$ et $k>0$Développer Lien exos