Pour un système asservi, nous nous interresseront à la gonction de transfert ou transmitance :
On note $x(t)$ le signal d'entrée et $y(t)$ le signal de sortie : $X(p)$ et $Y(p)$ sont les transformées de Laplace respectives de $x(t)$ et $y(t)$. Chaque système linéaire peut être caractérisé par sa fonction
de transfert $H(p)$. Soit un système linéaire, continu et invariant décrit par l'équation differentielle suivante :
$a_0y(t)+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+\cdots+a_n\dfrac{d^ny(t)}{dt^n}=b_0x(t)+b_1\dfrac{dx(t)}{dt}+\cdots+b_n\dfrac{d^nx(t)}{dt^n}$ (1)
avec les conditions initiales nulles.
En appliquant la transformée de Laplace à l'équation 1, on obtient :
$(a_0+a_1\cdot p + \cdots + a_n\cdot p^n)Y (p) = (b_0 + b_1\cdot p + \dots + b_m\cdot p^m)X(p)$
$H(p)=\dfrac{Y(p)}{X(p)}=\dfrac{b_0 + b_1\cdot p + \dots + b_m\cdot p^m}{a_0+a_1\cdot p + \cdots + a_n\cdot p^n}$ noté $\dfrac{N(p)}{D(p)}$
$T(p) = G(p)H(p)$ donc $F(p) =\dfrac{H(p)}{1 + T(p)}$
L'équation caractéristique d'un système : (polynôme en $p$)
$E_c(p) = Numerateur [1 + T(p)]$
Fonction origine $x(t)$ | Fonction image $X(p)$ | Fonction origine $x(t)$ | Fonction image $X(p)$ |
Impulsion de Dirac $\delta (t)$ | $1$ | $t^n (n \in \mathbb{N})$ | $\dfrac{n!}{p^{n+1}}$ |
Echelon $1\cdot u(t)$ | $\dfrac{1}{p}$ | $e^{\alpha t}$ | $\dfrac{p(p-\alpha)}{(p-\alpha)^2+\beta^2}$ |
Rampe $t\cdot u(t)$ | $\dfrac{1}{p^2}$ | Dérivée $f(t)'$ | $pF(p)-f(0)$ |
Echelon $A \cdot u(t) $ | $\dfrac{A}{p}$ | Dérivée $f(t)''$ | $p^2F(p)-pf(0)-f'(0)$ |
Rampe $at\cdot u(t)$ | $\dfrac{a}{p^2}$ | Dérivée $f(t)^(n)$ | $p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)$ |
$e^{-a \cdot t}\cdot u(t)$ | $\dfrac{1}{p+a}$ | $t\cdot e^{-a \cdot t} \cdot u(t)$ | $\dfrac{1}{(p+a)^2}$ |
$sin(\omega t) \cdot u(t)$ | $\dfrac{\omega}{p^2+\omega^2}$ | $cos(\omega t) \cdot u(t)$ | $\dfrac{p}{p^2+\omega^2}$ |
$e^{-a \cdot t} \cdot sin(\omega t) \cdot u(t)$ | $\dfrac{p+a}{(p+a)^2+\omega^2}$ | $e^{-a \cdot t} \cdot cos(\omega t) \cdot u(t)$ | $\dfrac{\omega}{(p+a)^2+\omega^2}$ |
$sinh (\omega t)$ | $\dfrac{\omega}{p^2-\omega^2}$ | $cosh (\omega t)$ | $\dfrac{p}{p^2-\omega^2}$ |