La robotique dans toute sa splendeur

Via les équations Jacobienne
Objectif: comprendre et réaliser les calculs liés aux robots.

Repérage d’après DHM (Denavit Hartenberg Modifié)


Paramétrage selon DHM

Articulationαidiθiri
1  q1r1
2$\dfrac{\pi}{2}$ q2 
3 d3q3 
4$\dfrac{\pi}{2}$d4q4r4
5$\dfrac{\pi}{2}$ q5 
6$\dfrac{\pi}{2}$d6q6r6

Les données :

Articulationαidiθiri
1  q1166,3
2$\dfrac{\pi}{2}$ q2 
3 221,33q3 
4$\dfrac{\pi}{2}$32,5q4235
5$\dfrac{\pi}{2}$ q5 
6$\dfrac{\pi}{2}$9,25q647,7

Détermination du modèle géométrique direct

Détermination des matrices de passages intermédiaires

La matrice de passage générique dans la convention de Denavit Hartenberg Modifié est la suivante :
$^{i-1}T_i=\begin{bmatrix} \cos {\theta_i} & -\sin {\theta_i} & 0 & d_i \\ \cos {\alpha_i} \sin {\theta_i} & \cos {\alpha_i} \cos {\theta_i} & -\sin {\alpha_i} & -r_i \sin {\alpha_i} \\ \sin {\alpha_i} \sin {\theta_i} & \sin {\alpha_i} \cos {\theta_i} & \cos {\alpha_i} & r_i \cos {\alpha_i} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$

Calcule les six matrices de passage.

$^0T_1=\begin{bmatrix} c_1 & -s_1 & 0 & 0 \\ s_1 & c_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & r_1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$ $^1T_2=\begin{bmatrix} c_2 & -s_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ s_2 & c_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$ $^2T_3=\begin{bmatrix} c_3 & -s_3 & 0 & d_3 \\ s_3 & c_3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$
$^3T_4=\begin{bmatrix} c_4 & -s_4 & 0 & d_4 \\ 0 & 0 & -1 & -r_4 \\ s_4 & c_4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$ $^4T_5=\begin{bmatrix} c_5 & -s_5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ s_5 & c_5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$ $^5T_6=\begin{bmatrix} c_6 & -s_6 & 0 & d_6 \\ 0 & 0 & -1 & -r_6 \\ s_6 & c_6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\$

Détermination du modèle géométrique direct

$U_0=^0T_1\cdot ^1T_2\cdot ^2T_3\cdot ^3T_4\cdot ^4T_5\cdot ^5T_6$

$^0T_2$

$^0T_2=\begin{bmatrix} c_1\cdot c_2 & -c_1\cdot s_2 & s_1 & 0\\ s_1\cdot c_2 & -s_1\cdot s_2 & -c_1 & 0\\ s_2 & c_2 & 0 & r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

$^0T_3$

$^0T_3=\begin{bmatrix} c_1\cdot (c_2\cdot c_3-s_2\cdot s_3) & -c_1\cdot (c_2\cdot s_3+s_2\cdot c_3) & s_1 & c_1\cdot c_2\cdot d_3\\ s_1\cdot (c_2\cdot c_3-s_2\cdot s_3) & -s_1\cdot (c_2\cdot s_3+s_2\cdot c_3) & -c_1 & s_1\cdot c_2\cdot d_3\\ s_2\cdot c_3+c_2\cdot s_3 & -s_2\cdot s_3+c_2\cdot c_3 & 0 & s_2\cdot d_3+r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
Comme =$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
$s_{23} = \sin \theta_2 \cos \theta_3 + \cos \theta_2 \sin \theta_3$
$\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B$
$c_{23}=\cos \theta_2 \cos \theta_3 – \sin \theta_2 \sin \theta_3$

$^0T_3=\begin{bmatrix} c_1\cdot c_{23} & -c_1\cdot s_{23} & s_1 & c_1\cdot c_2\cdot d_3\\ s_1\cdot c_{23} & -s_1\cdot s_{23} & -c_1 & s_1\cdot c_2\cdot d_3\\ s_{23} & c_{23} & 0 & s_2\cdot d_3+r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

$^0T_4$

$^0T_4=\begin{bmatrix} c_1c_{23}c_4+s_1s_4 & -c_1c_{23}s_4+s_1c_4 & c_1s_{23} & c_1c_{23}d_4+c_1s_{23}r_4+c_1c_2d_3\\ s_1c_{23}c_4-c_1s_4 & -s_1c_{23}s_4-c_1c_4 & s_1s_{23} & s_1c_{23}d_4+s_1s_{23}r_4+s_1c_2d_3\\ s_{23}c_4 & -s_{23}s_4 & -c_{23} & s_{23}d_4-c_{23}r_4+s_2d_3+r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

$^0T_5$

$^0T_5=\begin{bmatrix} (c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5 & -(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)s_5+c_1s_{23}c_5 & c_1c_{23}s_4-s_1c_4 & c_1c_{23}d_4+c_1s_{23}r_4+c_1c_2d_3\\ (s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5 & -(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)s_5+s_1s_{23}c_5 & s_1c_{23}s_4+c_1c_4 & s_1c_{23}d_4+s_1s_{23}r_4+s_1c_2d_3\\ s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5 & -s_{23}c_4s_5-c_{23}c_5 & s_{23}s_4 & s_{23}d_4-c_{23}r_4+s_2d_3+r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

$^0T_6$

$^0T_6=\begin{bmatrix} [(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]c_6+(c_1c_{23}s_4-s_1c_4)s_6 & -[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]s_6+(c_1c_{23}s_4-s_1c_4)c_6 & (c_1c_{23}c_4+s_1s_4)s_5-c_1s_{23}c_5 & [(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]d_6+[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)s_5-c_1s_{23}c_5]r_6+c_1c_{23}d_4+c_1s_{23}r_4+c_1c_2d_3\\ [(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]c_6+(s_1c_{23}s_4+c_1c_4)s_6 & -[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]s_6+(s_1c_{23}s_4+c_1c_4)c_6 & (s_1c_{23}c_4-c_1s_4)s_5-s_1s_{23}c_5 & [(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]d_6+[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)s_5+s_1s_{23}c_5]r_6+s_1c_{23}d_4+s_1s_{23}r_4+s_1c_2d_3\\ (s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)c_6+(s_{23}s_4)s_6 & -(s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)s_6+(s_{23}s_4)c_6 & s_{23}c_4s_5+c_{23}c_5 & (s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)d_6+(s_{23}c_4s_5+c_{23}c_5)r_6+s_{23}d_4-c_{23}r_4+s_2d_3+r_1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Équation du modèle géométrique direct

$^0T_6=\begin{bmatrix} S_x & N_x & A_x & P_x\\ S_y & N_y & A_y & P_y\\ S_z & N_z & A_z & P_z\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
$S_x=[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]c_6+(c_1c_{23}s_4-s_1c_4)s_6$
$S_y=[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]c_6+(s_1c_{23}s_4+c_1c_4)s_6$
$S_z=(s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)c_6+(s_{23}s_4)s_6$

$N_x=-[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]s_6+(c_1c_{23}s_4-s_1c_4)c_6$
$N_y=-[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]s_6+(s_1c_{23}s_4+c_1c_4)c_6$
$N_z=-(s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)s_6+(s_{23}s_4)c_6$

$A_x=(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)s_5-c_1s_{23}c_5$
$A_y=(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)s_5-s_1s_{23}c_5$
$A_z=s_{23}c_4s_5+c_{23}c_5$
$P_x=[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)c_5+c_1s_{23}s_5]d_6+[(c_1c_{23}c_4+s_1s_4)s_5-c_1s_{23}c_5]r_6+c_1c_{23}d_4+c_1s_{23}r_4+c_1c_2d_3$
$P_y=[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)c_5+s_1s_{23}s_5]d_6+[(s_1c_{23}c_4-c_1s_4)s_5+s_1s_{23}c_5]r_6+s_1c_{23}d_4+s_1s_{23}r_4+s_1c_2d_3$
$P_z=(s_{23}c_4c_5-c_{23}s_5)d_6+(s_{23}c_4s_5+c_{23}c_5)r_6+s_{23}d_4-c_{23}r_4+s_2d_3+r_1$
Rappel d'opérations sur les Matrices

Rappel sur les matrices de rotations

Si les angles $\alpha$, $\beta$, et $\gamma$ sont respectivements les angles autour de $\vec x$,$\vec y$ et $\vec z$ les matrices de rotation sont les suivantes:
$\begin{array}{c c c} Rot_X(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \alpha & -sin \alpha \\ 0 & sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} & Rot_Y(\beta)=\begin{pmatrix} cos \beta & 0 & sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin \beta & 0 & cos \beta \end{pmatrix} & Rot_Z(\gamma)=\begin{pmatrix} cos \gamma & -sin \gamma & 0 \\ sin \gamma & cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \end{array}$
représente une rotation dont le lacet, le tangage et le roulis (également appelé angles de Cardan) ou en aéronautique (z:)Azimuth=lacet=yaw - $\alpha$ ; (y:)Tanguage=pitch - $\gamma$; (x:)Roulis=roll - $\beta$


Produit de matrice

$\forall i,j:c_{{ij}}=\sum_{{k=1}}^{n}a_{{ik}}b_{{kj}}=a_{{i1}}b_{{1j}}+a_{{i2}}b_{{2j}}+\cdots +a_{{in}}b_{{nj}}$
Soit le produit de deux matrices $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ de type $(m,n)$ noté $A\cdot B=(c_{ij})$, est une matrice de type $(m,n)$ donnée par $c_{ij}=a_{ij}\times b_{ij}$
Exemple :
$A_{ij}\cdot B_{ij} =C_{ij}$
$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4\\ 1 & 0 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 2 & 3\\ 4 & 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 2\\ 7 & 5 & 0 & 8 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\2 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=$
$=\tiny\begin{pmatrix} (1\times 5+3\times 7+2\times 2+4\times 2) & (1\times 0+3\times 5+2\times 1+4\times 1) & (1\times 0+3\times 0+2\times 1+4\times 1) & (1\times 2+3\times 8+2\times 1+4\times 0) \\ (1\times 5+0\times 7+0\times 2+2\times 2) & (1\times 0+0\times 5+0\times 1+2\times 1) & (1\times 0+0\times 0+0\times 1+2\times 1) & (1\times 2+0\times 8+0\times 1+2\times 0) \\ (1\times 5+2\times 7+2\times 2+3\times 2) & (1\times 0+2\times 5+2\times 1+3\times 1) & (1\times 0+2\times 0+2\times 1+3\times 1) & (1\times 2+2\times 8+2\times 1+3\times 1)\\ (4\times 5+3\times 7+5\times 2+1\times 2) & (4\times 0+3\times 5+5\times 1+1\times 1) & (4\times 0+3\times 0+5\times 1+1\times 1) & (4\times 2+3\times 8+5\times 1+1\times 0) \end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix} 38 & 21 & 6 & 28 \\ 9 & 2 & 2 & 2 \\ 29 & 15 & 5 & 20 \\ 53 & 21 & 6 & 37 \end{pmatrix}$

Transposé de matrice

C'est une opération simple, ou l'on inverse les lignes et les colonnes
$A=\begin{pmatrix} 38 & 21 & 6 & 28 \\ 9 & 2 & 2 & 2 \\ 29 & 15 & 5 & 20 \\ 53 & 21 & 6 & 37\\ \end{pmatrix}$
$A^T=\begin{pmatrix} 38 & 9 & 29 & 53 \\ 21 & 2 & 15 & 21 \\ 6 & 2 & 5 & 6 \\ 28 & 2 & 20 & 37 \\ \end{pmatrix}$

Le cofacteur Coef

de la forme $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$
La methode sera la même pour exprimer les thermes.
Exemple du cofacteur $C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}$ cela tiens compte du signe. $C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}$. C'est bien la somme des cofacteurs qui donne le determinant.

Exemple avec des valeurs

$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$C_{11}=+\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=0\times 2-0\times 2=0$ $C_{12}=-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-(1\times 2-0\times 1)=-2$ $C_{13}=+\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\times 2-0\times 1=2$
$C_{21}=-\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=-(3\times 2-2\times 2)=-2$ $C_{22}=+\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\times 2-1\times 2=0$ $C_{23}=-\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-(1\times 2-3\times 1)=1$
$C_{31}=+\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}=3\times 0-2\times 0=0$ $C_{32}=-\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-(1\times 0-2\times 1)=2$ $C_{33}=+\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=1\times 0-3\times 1=-3$
$Coef(A)=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}$

La matrice adjointe Adj

La matrice adjointe n’est rien d’autre que la matrice cofacteur de A transposé. Elle se note : $Adj(A)=(Coef(A))^T$
Pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$Adj(A)=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

Le déterminant d'une matrice

Le déterminant d’une matrice n’existe que pour les matrices carrées.
Pour calculer le déterminant, il faut faure la somme des cofacteurs, le resultat est un scalaire, donc un nombre
$det(A)=a{11}\cdot C_{11}+a{12}\cdot C_{12}+a{13}\cdot C_{13}+a{21}\cdot C_{21}+a{22}\cdot C_{22}+a{23}\cdot C_{23}+a{31}\cdot C_{31}+a{32}\cdot C_{32}+a{33}\cdot C_{33}$
Pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$det(A)=0+(-2)+2+(-2)+0+1+0+2+(-3)=-2$

L'inverse d'une matice

Pour calculer l'inverse d'un matrice, il nous faut son déterminant et sa matrice adjointe.
L'inverse d'un matrice obéit à l'équation $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$, pour rappel $I_n$ est la matrice unité de la forme $I_n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\times Adj(A)$
Pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\times\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -0.5 & 1.5 \end{pmatrix}$

Matice pseudo-inverse

Cette matrice à pour objectif d'un approximation des moindres carrés, il y a plus de d'équation que de variable, la matrice est donc rectangulaire.
La matrice pseudo-inverse ou inverse de Moore-Penrose, notée $A^+=(A^T\cdot A)^{-1}A^T$
Pour $A=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
$A^+=\Biggl(\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\Biggl)^{-1}\times \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$
$A^+=\begin{bmatrix} 9 & -16 \\ -16 & 29 \end{bmatrix}^{-1}\times \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$
$A^+=\begin{bmatrix} \dfrac{29}{5} & \dfrac{16}{5} \\ \dfrac{16}{5} & \dfrac{9}{5} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$

$A^+=\begin{bmatrix} \dfrac{-3}{5} & -2 & \dfrac{-6}{5} \\ \dfrac{-2}{5} & -1 & \dfrac{-4}{5}\end{bmatrix}$
Rappel sur la trigonométrie

Rappel sur les propriétés remarquables

$\sin^2t + \cos^2t = 1$
$\sin(-A)=-\sin(A)$
$\cos(-A)=\cos(A)$
$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$\sin (A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B $
$\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $
$\cos (A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
$\sin 2A = 2\cdot \sin A \cos A $
$\cos 2A = \cos^2 A – \sin^2 A$

Rappel sur les dérivés trigonométrie

$\cos(A)'=-\sin(A)$
$\sin(A)'=cos(A)$
$\cos(u)'=-u'\cdot \sin(u)$
$\sin(u)'=u'\cdot \cos(u)$

Rappel sur les droites

Deux droites perpendiculaires
$y=a_1\cdot x+b_1$
$y=a_2\cdot x+b_2$
$a_1\cdot a_2=-1$

Distance entre deux droites parallèles
$dist=\dfrac{\left|b_1-b_2\right|}{\sqrt{a^2+1}}$

Solution d'une système linéaire

n inconnues, n équations

Pour une approche de résolution d'équations classiques, par la méthode matriciel, nous avons autant d'inconnues que de solutions
$\Biggl\{ \begin{array}{c} 5x+2y=16\\ 4x+3y=17 \end{array}$ donne $A=\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3\end{bmatrix}$ ; $B=\begin{bmatrix} 16 \\ 17\end{bmatrix}$ ; $X=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
$A\cdot X=B$ donc $X=\dfrac{B}{A}$ soit $X=B\cdot A^{-1}$
$A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B$ donne $\boldsymbol{X=A^{-1}\cdot B}$ ou $A^{-1}$est la matrice inverse de A.
$A^{-1}=\begin{bmatrix} \dfrac{3}{7} & -\dfrac{2}{7} \\ -\dfrac{4}{7} & \dfrac{5}{7}\end{bmatrix}$
$X=B\cdot A^{-1}=\begin{bmatrix} \dfrac{3}{7} & -\dfrac{2}{7} \\ -\dfrac{4}{7} & \dfrac{5}{7}\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 16 \\ 17\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3\end{bmatrix}$
La solution de l'équation est $x=2$ et $y=3$

Système surdéterminé

Un système est dit surdéterminé si il y a plus d'équations que d'inconnues.
Exemple avec la recherche d'une droite des moindres carrés, à partir d'un nuage de point, recherche de la droite la plus significative.

$\Biggl\{ \begin{array}{c} x+3y=17 \\ 5x+7y=19 \\ 11x+13y=23 \end{array}$ donne $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ 11 & 13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 17 \\ 19 \\ 23\end{bmatrix}$
Comme la matrice n'est pas carrée, l'approche par la matrice inverse ne fonctionne pas.
La solution, la matrice pseudo-inverse ou inverse de Moore-Penrose, notée $A^+=(A^T\cdot A)^{-1}A^T$
$A \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$, alors $(A^T\cdot A)\cdot x=A^T\cdot b$, ce qui donne $x=(A^T\cdot A)^{-1}A^T\cdot b$ soit $x=A^+\times b$
$A^+=\Biggl( \begin{bmatrix} 1 & 5 & 11 \\ 3 & 7 & 13 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ 11 & 13 \end{bmatrix}\Biggl)^{-1}\times \begin{bmatrix} 1 & 5 & 11 \\ 3 & 7 & 13 \end{bmatrix} $
$A^+=\begin{bmatrix} 147 & 181 \\ 181 & 227 \end{bmatrix}^{-1}\times \begin{bmatrix} 1 & 5 & 11 \\ 3 & 7 & 13 \end{bmatrix} $
$A^+=\begin{bmatrix} \dfrac{227}{608} & \dfrac{-181}{608} \\ \dfrac{-181}{608} & \dfrac{147}{608} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1 & 5 & 11 \\ 3 & 7 & 13 \end{bmatrix} $
$A^+=\begin{bmatrix} \dfrac{-316}{608} & \dfrac{-132}{608} & \dfrac{144}{608} \\ \dfrac{260}{608} & \dfrac{124}{608} & \dfrac{-80}{608} \end{bmatrix}$
Vérification de la matrice :
$A^+\times A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, nous sommes bien sur la matrice d'identité
Recherche de la solution approchante :
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=A^+\times b=\begin{bmatrix} -0.5197 & -0.2171 & 0.23684 \\ 0.4276 & 0.2039 & -0.1316 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 17 \\ 19 \\ 23\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -7.513 \\ -8.1184\end{bmatrix}$
On reprends chaque équation avec les valeurs de x et y
$\Biggl\{ \begin{array}{c} -7.513+3\times -8.1184 & =16.84 & \approx 17 \\ 5\times -7.513+7\times -8.1184 & =19.26 & \approx 19\\ 11\times -7.513+13\times -8.1184 & =22.89 & \approx 23\end{array}$
Types d’équations rencontrées (Méthode de Paul)
TypesSystème
Type 1$Y\cdot r_i=Y$
Type 2$X\cdot s\theta_i+Y\cdot c\theta_i=Z$
Type 3$X_1\cdot s\theta_i+Y_1\cdot c\theta_i=Z_1$
$X_2\cdot s\theta_i+Y_2\cdot c\theta_i=Z_2$
Type 4$X_1\cdot r_j s\theta_i=Y_1$
$X_2\cdot r_j c\theta_i=Y_2$
Type 5$X_1\cdot s\theta_i=Y_1+Z_1\cdot r_j$
$X_2\cdot c\theta_i=Y_2+Z_2\cdot r_j$
Type 6$W\cdot s\theta_j=X\cdot c\theta_i+Y\cdot s\theta_i+Z_1$
$W\cdot c\theta_j=X\cdot s\theta_i-Y\cdot c\theta_i+Z_2$
Type 7$W_1\cdot c\theta_j+W_2\cdot s\theta_j=X\cdot c\theta_i+Y\cdot s\theta_i+Z_1$
$W_1\cdot s\theta_j+W_2\cdot c\theta_j=X\cdot c\theta_i-Y\cdot x\theta_i+Z_2$
Type 8$X\cdot s\theta_i+Y \cdot s(\theta_i+\theta_j)=Z_2$
$X\cdot c\theta_i+Y \cdot c(\theta_i+\theta_j)=Z_1$