La thermodynamique appliqué au machines
La température
L'échelle de température Kelvin est l'échelle de température absolue (Pas de signe négatif)
Le zéro absolue est la température la plus froide possible dans l'univers soit $0 K$ ou $-273 °C$
Pour convertir en Kelvin : $K=t°C-273,15$, et en degré : $°C=t K+273,15$
Notion de chaleur
Exemple 1:
Si vous chauffez de l'eau avec des glaçons, l'eau reste 0°C mais et les glaçons fondent. La chaleur de l’eau a augmenté, mais sa température n’a pas changé.
Il y a donc une différence entre chaleur et température. $Q \neq T$
Les glaçons passent de l’état solide à l’état liquide, ils consomme de la chaleur (cette chaleur là est nommée enthalpie de changement d’état, ou chaleur latente) :
l’eau va donc fondre plutôt que monter en température.
Chaleur et grandeur physique
Comme la température et différente de la chaleur, comment est mesurée la chaleur?
Dans un premier temps l'unité utilisé était la calorie $cal$. C'est une unité qui correspond à la quantité d'énergie nécessaire pour élever la température d'un gramme d'eau de 1 °C.
L'unité utilisé de nos jours est le joule (J) avec $1 cal$ vaux approximativement $4,2 J.$
Exemple 2:
Le morceau de cuivre à perdu de l'énergie $Q_{Cuivre}<0$ alors que l'eau à reçue de l'énergie $Q_{Eau}>0$.
Donc la convention de signe dépend du système étudié.
Premier principe de la thermodynamique : L'énergie est indestructible
Au cours d'une transformation l'énergie n'est ni créée ni détruite :
elle peut être convertie d'une forme en une autre (travail, chaleur) mais la quantité totale d'énergie reste invariable.
Cette loi constitue le premier principe de la thermodynamique : $\sum (Q+W)_{Cylce}=0$
$Q_{Cuivre}=-m_{cuivre} \cdot C_{Cuivre} \cdot \Delta t_{Cuivre}$ en effet la valeur est négative car le cuivre cède de l'énergie à l'eau
$Q_{Cuivre}==-1\times 385 \times (100-30)=-26950 J$
$Q_{eau}=m \cdot C_{eau} \cdot \Delta t_{eau}$ la valeur est positive car l'eau reçois de l'énergie du cuivre
$\sum (Q+W)_{Cylce}=Q_{Cuivre}+Q_{eau}=0$
Je recherche la masse d'eau nécessaire pour atteindre l'équilibre de $30°C$ soit $Q_{eau}=-Q_{Cuivre}$
$m_{eau}=\dfrac{Q_{eau}}{C_{eau}\cdot \Delta t_{eau}}=\dfrac{26950}{4185 \times (30-20)}=0,644 kg$.
diagramme pression-volume
Pour comprendre le transfert de chaleur nous utiliserons le diagramme PV
L'adiabatique
C'est une détente sans échange avec le milieu extérieur.Pour comprendre l'adiabatique appuyer sur "start"
Le système fermé
Un système fermé est un système dont la masse est fixe, comme un gaz ou un fluide.
Par conventions le flux entrants est de signe positif et le flux sortant négatif, mais les flèches sont toujours entrantes.
Le premier principe dans un système fermé
Si on fournit 100 J de travail à un système fermé et qu’il perd 80 J sous forme de chaleur,
c’est que "son" énergie a augmenté de 20 J.
Nous nommons cette augmentation la variation d’énergie interne, $\Delta U$.
Ce qui donne l'équation : $Q_{1 \rightarrow 2}+W_{1 \rightarrow 2}=\Delta U$
Pour un système immobile : $\Delta U=U_2-U_1$ appelé variation d'énergie interne.
L'énergie interne $U$ est toujours positive, alors que $\Delta U$ peu être négative.
Lorsqu’un fluide est ramené à son état initial, l'énergie à été rendue à l’extérieur sous une forme ou une autre.
donc : $Q_{cycle}+W_{cycle}=0$ pour un cycle thermodynamique complet.
Lorsqu’un système a parcouru un cycle thermodynamique complet, la somme algébrique de la chaleur fournie et du travail effectué est nulle. $U$ est une fonction d'état, sa variation ne dépend que de l'état initial et de l'état final, et donc est indépendante de la nature de la transformation.
Limite du premier principe dans un système fermé
Les infos pratiques
Tableau : Formulaire pour les différents types d'énergie
| L'énergie cinétique (translation) | $E_C=\dfrac{1}{2} m \cdot C^2$ | $E_C$ énergie en Joule |
| $m$ masse en kilogramme | ||
| $C$ vitesse en $ms^{-1}$ | ||
| L'énergie cinétique (rotation) | $E_C=\dfrac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2$ | $E_C$ énergie en Joule |
| $J$ inertie en $kg\cdot m^2$ | ||
| $\omega$ vitesse de rotation $rad\cdot s^{-1}$ | ||
| L'énergie potentielle | $E_P=m g z$ | $E_P$ énergie en Joule |
| $m$ masse en kilogramme | ||
| $g$ accélération gravitationnelle (usuellement $9,81m^{-2}$) | ||
| $z$ altitude par rapport au point de référence en m | ||
| L'énergie mécanique | $W=F\cdot L$ | $W$ énergie en Joule |
| $F$ force en Newton | ||
| $L$ distance en mètre | ||
| L'énergie mécanique | $W_{A \rightarrow B}=-\displaystyle{\int_{A}^{B}}F \cdot ~\textrm{d}l$ | $W_{A \rightarrow B}$ travail effectué entre deux points A et B en Joule |
| $F$ force en Newton | ||
| $L$ distance en mètre | ||
| L'énergie mécanique | $E_M=E_P+E_C$ | $E_M=m( g z+\dfrac{1}{2} C^2)$ |
| L'énergie calorifique | Fluide $Q=m\cdot c \cdot \Delta T$ $\delta Q=m\cdot c \cdot dT$ | $Q$ énergie en Joule |
| $m$ masse en kilogramme | ||
| $c$ chaleur massique en $J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}$ | ||
| $\Delta T$ différence de température (en K ou °C) | Gaz transfo isochore $Q=n\cdot C_v \cdot \Delta T$ $\delta Q=n\cdot C_v \cdot dT$ transfo isobare $Q=n\cdot C_p \cdot \Delta T$ $\delta Q=n\cdot C_p \cdot dT$ | $C_V$ chaleur massique à volume constant $J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}$ |
| $C_P$ chaleur massique à pression constante $J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}$ | ||
| $n$ nombre de $mol$ | ||
| $\Delta t$ différence de température (en K ou °C) |
Tableau : Capacité thermique massique
Capacité thermique massique à pression constante | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Substance | Phase | J·kg-1·K-1 | Substance | Phase | J·kg-1·K-1 |
| Air (sec) | gaz | 1005 | Huile | liquide | ≈ 2000 |
| Azote | gaz | 1042 | Aluminium | solide | 897 |
| Diamant | solide | 502 | Titane | solide | 523 |
| Eau | gaz | 1850 | Laiton | solide | 377 |
| liquide | 4185 | Cuivre | solide | 385 | |
| solide (0 °C) | 2060 | Zinc | solide | 388 | |
| Éthanol (alcool éthylique) | liquide | 2460 | Mercure | liquide | 139 |
| Fer | solide | 444 | Plomb | solide | 130 |
| Graphite | solide | 720 | Or | solide | 129 |
Exercices de base
Exercice 1:
Un cycliste descend une route de montagne en roue libre. A un point d'altitude 540m, sa vitesse est de 10 km/h.Quelques instants plus tard, en passant un point d'altitude 490m, sa vitesse est de 45 km/h.
La masse du/de la cycliste et de son équipement est de 70 kg.
Quelle quantité d'énergie a-t-il dissipé sous forme de frottements ?
Solution
L'énergie mécanique du la cycliste a varié de : $\Delta E_M=E_{M2}-E_{M1}$
$\Delta E_M=m(g z_2-g z_1+\dfrac{1}{2} (C_2^2-C_1^2))$
$\Delta E_M=m\left[ g \left(z_2- z_1 \right)+\dfrac{1}{2} \left(C_2^2-C_1^2\right)\right]$
$\Delta E_M=70 \left[ 9,81 \left(490- 540 \right)+\dfrac{1}{2} \left(\left(\dfrac{45\cdot 10^3}{3600}\right)^2-\left(\dfrac{10\cdot 10^3}{3600}\right)^2\right)\right]$
$\Delta E_M=-29136 J$
Le cycliste a donc perdu $29,1 kJ$ d'énergie mécanique.
Cette quantité a été transmise à l’atmosphère, sous forme de turbulence et de chaleur, et aux roulements et pneus du vélo, sous forme de chaleur.
Exercice 2:
Un ressort est comprimé depuis une longueur de 30 cm jusqu'à une longueur de 5 cm.Le ressort est tel qu'il exerce une force (en newtons) indépendante de sa longueur et égale à : $F(l) = 6\cdot 10^3 N$
Quelle est l’énergie fournie au ressort sous forme de travail pendant la compression ?
Solution
$W_{A \rightarrow B}=-\displaystyle{\int_{A}^{B}}F \cdot ~\textrm{d}l=-\displaystyle{\int_{A}^{B}}6\cdot 10^3 ~\textrm{d}l$$W_{A \rightarrow B}=-6\cdot 10^3 \displaystyle{\int_{A}^{B}} ~\textrm{d}l=-6\cdot 10^3 \left[l\right]_{l_A}^{l_B}=-6\cdot 10^3(0,05-0,3)$
$W_{A \rightarrow B}=-6\cdot 10^3\times -0,25=+1,5\cdot 10^3 J$
Exercice 3:
La capacité calorifique massique de l'acier solide est constante (indépendante de la température) et a pour valeur $C_{acier} = 475 J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}.$Combien faut-il de chaleur pour faire passer un bloc de 50 kg d'acier depuis une température $T_A = 5°C$ jusqu'à une température $T_B = 18 °C$ ?
Solution
$Q=m\cdot C \cdot \Delta t=50\times 475 \times (18-5)=+308750 J$L'énergie est positive car l'acier reçois l'énergie.
Exercice 4:
Un ingénieur épuisé par les calculs thermodynamique souhaite prendre un bain.L'eau courante arrive à température de $10°C$ dans le chauffe-eau électrique ;
L'eau a une capacité calorifique constante de $C_{eau~liquide} = 4,2 kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}.$
et un masse volumique constante $\rho_{eau~liquide} = 10^3 kg\cdot m^{-3}$.
Combien faut-il d'énergie pour chauffer l'eau à $40°C$ avant de remplir une baignoire de 270 L ?
Combien de temps le réchauffage prendra-t-il si la puissance de chauUage est de $Q = +2 kW$?
Solution
1. $Q=\rho_{eau~liquide} \cdot V_{eau~liquide} \cdot C_{eau~liquide} \cdot \Delta t$$Q=1000\times 270 \times 4,2 \times (40-10)=+34020kJ$
2. $t=\dfrac{W}{P}=\dfrac{34020}{2}=17010s$ soit 4h43min30s
Exercice 5:
On souhaite lever un véhicule ayant pour masse 1 200 kg avec le cric hydraulique.Le piston de poussée a pour surface $5 cm^2$. L'huile au sein du cric est présumée incompressible.
Le but de l’installation est de permettre à une personne de gabarit ordinaire de soulever et maintenir en place le véhicule avec le piston de poussée (dont l’extrémité est munie de poignées).
Dimensionnez le piston sous le véhicule afin que la force dans le piston de poussée n'excède pas $100N$.
Quelle est la puissance nécessaire pour maintenir le véhicule en place ?
On souhaite soulever le véhicule de 25 cm, en moins de 30 secondes.
Selon quelle distance faudrait-t-il enfoncer le piston gauche pour cela ?
Quels seraient alors le travail et la puissance à fournir ?
Solution
1. $P_2 \ge P1$ ; $\dfrac{F_2}{S_2}\ge \dfrac{F_1}{S_1}$ ; $S_2\ge \dfrac{F_2\cdot S_1}{F_1}$ soit $S_2 \ge \dfrac{1200 \times 9,81 \times 5}{100}=588,6cm^2$2. $P=0$ puisqu'il n'y a pas de déplacement
3. $V_1=V_2$ ; $S_1\cdot h_1=S_2\cdot h_2$ ; $h1=\dfrac{S_2\cdot h_2}{S_1}=\dfrac{588,6\times 25}{5}=2943 cm$ soit $29,43 m$
4. $W=F\cdot l=100\times 29,43=2943 J$ et la puissance $P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{2943}{30}=98,1 W$
Exercice 6:
Un débit constant de $1 200 kg\cdot s^{-1}$ traverse une petite installation hydraulique.- Au point haut (1), l’eau arrive à vitesse de $3m\cdot s^{-1}$ avec une température $T_1 = 5°C$ et une altitude $z_1 = 75m$.
- Au point bas (2), elle ressort à vitesse de $2,5m\cdot s^{-1}$ à température $T_2 = 5,04 °C$ et altitude $z_2 = 4m$.
L'eau a une capacité calorifique massique de $C_{eau~liquide} = 4185 J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}$.
Quelle est l'énergie spécifique mécanique gagnée ou perdue par l’eau en traversant l’installation ?
Avec quelle énergie spécifique est-elle réchauffée par le frottement ?
Quelle est la puissance (en watts) dégagée sous forme de travail par la turbine ?
Solution
1. L'énergie mécanique : $\Delta e_M=e_{M2}-e_{M1}$$\Delta e_M=g z_2-g z_1+\dfrac{1}{2} (C_2^2-C_1^2)$
$\Delta e_M=g \left(z_2- z_1 \right)+\dfrac{1}{2} \left(C_2^2-C_1^2\right)$
$\Delta e_M=9,81 (75-4)+\dfrac{1}{2}(2,5^2-3^2)$
$\Delta e_M=-697,885 J\cdot kg^{-1}$ perdu par l’eau
2. $q_{1\rightarrow 2}=C_{eau~liquide} \cdot \Delta t=4185 \times (5,04-5)=+167,4 J\cdot kg^{-1}$
3. $W=\Delta E_M+Q=m (\Delta e_M+q_{1\rightarrow 2})=1200 \times (-697,885+167,4)=-636582 J$ Fournis par la turbine,
comme c'est en $1s$ le résultat est $P=636,6kW$