Le Système GPS

L'ensemble des équations utiles
Objectif: comprendre et réaliser les calculs liés aux distances.

Mesure du temps. Depuis 1967, la seconde du SI est définie par un nombre d'oscillations, 9 192 631 770 exactement, de l'atome de césium 133. La mesure et le comptage de ces oscillations sont effectuées par les horloges atomiques.

La précision des GPS courants est à l'heure actuelle de l'ordre du mètre.
L'hypothèse de départ admette que les signaux du GPS se déplacent dans le vide, de façon rectiligne et à la vitesse c.
On suppose que $c = 3,00\cdot 10^8 m/s$. La précision est alors de $p=\frac{1}{3,00\cdot 10^8} =3,3\cdot 10^{-9} s$. La précision des horloges atomiques est de l'ordre de $10^{-15} s$. Elles conviennent pour la mesure des durées dans le système GPS.

Synchronisation des horloges.

Pour aborder le problème du positionnement par mesure du temps, on étudie tout d'abord le repèrage d'un promeneur le long d'une route étroite.

Soit deux balises fixes émettrices A et B, situées aux extrémités de la route de longueur $AB=D = 300 km.$
Le signal émis par chaque balise contient l'heure d'émission du signal. On suppose ici, pour simplifier, que la vitesse de propagation du signal est $v = 10 km /min$.
Au point $P$, le promeneur reçoit simultanément un signal de $A$ contenant l'heure d'émission $t_0$ et un signal de $B$ contenant lui aussi l'heure à laquelle $B$ a envoyé son signal soit $t_0 + \Delta_t$ $(\Delta_t = 10 min)$.
Les deux balises sont supposées parfaitement synchronisées.
L'expression littérale de la distance $d_1$ séparant $P$ de $A$ :
$v=\dfrac{d}{t}$ donc $d=v\times t$
$d_1 = v(t_P-t_0)$
$d_2 = v(t_P-(t_0 + \Delta_t))$
$D-d_1 = v(t_P-(t_0 + \Delta_t)) = v(t_P-t0-\Delta_t)=v(t_P-t0)-v(\Delta_t)=d_1-v\cdot \Delta_t$
soit $2\cdot d_1=D+v\cdot \Delta_t$
$d_1 =\dfrac{1}{2}(D+v\cdot \Delta_t)$ A.N. : $d_1=\dfrac{1}{2}(300+10\times10)=200 km$.

Vérification de l'heure du promeneur.

Lorsque le promeneur reçoit les deux signaux, sa montre indique $t$=10h24 min. L'heure d'émission des signaux étant connue ( $t_0$ = 10h05 min ) on peut déterminer l'avance ou le retard de la montre de $P$ par rapport aux horloges des balises.
L'heure théorique que devrait indiquer la montre du promeneur lorsqu'il reçoit les signaux en fonction de $D, t_0, v$ et $\Delta_t$.
$d_1 = v(t-t_0)$
$d_2 = v(t-(t_0 + \Delta_t))$
$d_1+d_2 = D =v(t-t_0) +v(t_P-(t_0 + \Delta_t))$
$D = 2v(t-t_0)-v\cdot \Delta_t$
$t-t_0 = \dfrac{D +v\cdot \Delta_t}{2v}$
$t-t0 = \dfrac{D}{2v}+\dfrac{\Delta_t }{2}$
En déduire la valeur numérique du retard $t$ de la montre du promeneur.
$t-t_0 = \dfrac{D}{2v}+\dfrac{\Delta_t }{2}=\dfrac{300}{2\times 10}+\dfrac{10 }{2} =15 +5 =20 min$
$t = 10h05 +20= 10h25min$
$t = t_P-t = -1min$.

Synchronisation des horloges A et B.

A l'instant $t_{A1}$ ( selon l'horloge A) l'horloge A émet un signal vers l'horloge B.
Dès réception, l'horloge B lui renvoie un signal contenant son heure de réception $t_{B2}$ ( selon l'horloge B) ; l'horloge A reçoit ce second signal à l'instant $t_{A3}$ ( selon A).


$D = v(t_{B2}-t_{A1})\\ D = v(t_{A3}-t_{B2})\\ t_{B2}-t_{A1} =t_{A3}-t_{B2} \\ t_{B2} =\dfrac{1}{2}(t_{A3}-t_{A1})$.
Si $t_{A1}$ = 10h00 min, $t_{B2}$ = 10h07 min et $t_{A3}$ =10h10 min.
Si les horloges étaient synchronisées, $t_{B2}$ serait égal à : 10h05 min or $t_{B2}$ indique 10h07min.
Le retard de l'horloge de A sur celle de B, A retarde de 2 min par rapport à B.
Correction due à la vitesse des satellites : dilatation des durées. Les horloges atomiques embarquées dans les satellites du GPS sont en mouvement par rapport à celles situées sur terre. La théorie de la relativité restreinte permet de montrer que les horloges embarquées affichent un reatrd par rapport aux horloges terrestres.
En 1905 : la vitesse de la lumière dans le vide est égale à $c$ dans tous les référentiels inertiels.
Elle ne dépend pas du mouvement de la source ni de l’observateur.
L'utilisation d'une" horloge de lumière " permet de justifier le phénomène de dilatation des durées en s'appuyant sur le principe de l'invariance de la vitesse de la lumière.
Considérons un ensemble "MSR = miroir ; source; récepteur" en translation à la vitesse v constante dans le référentiel galiléen du laboratoire R. On nomme R' le référentiel lié à l'ensemble MSR. Un observateur lié à l'ensemble MSR détermine l'intervalle de temps Dt' entre l'émission et la réception d'une impulsion lumineuse, après réflexion sur le miroir.
Pour un observateur lié au référentiel galiléen du laboratoire R, la durée mise par la lumière pour faire l'aller-retour est notée Dt.
L désigne la distance fixe entre le miroir et le système source-récepteur.

Un événement est un phénomène physique localisé, dans un référentiel donné, à la fois dans le temps et dans l’espace.
Un événement est caractérisé par ses coordonnées d'espace et de temps.
Le temps propre d'un observateur est le temps qui s'écoule dans un référentiel dit "référentiel propre" dans lequel l'observateur est immobile.
Ce temps propre est mesuré par une horloge fixe placé dans un référentiel galiléen où se déroule l'événement.
L'intervalle de temps mesuré par deux horloges diférentes situées en deux lieux différents de l'espace est appelée durée mesurée.

Distance parcourue par l'impulsion lumineuse du point de vue des deux observateurs.

En éliminant L, en déduire Dt en fonction de Dt', c et v.
Dans le référentiel R' : $Dt' = \dfrac{2L}{c}$
Dans le référentiel R, l'impulsion parcourt la distance $2a$ telle que : $a^2 = L^2 +\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}v\cdot Dt\end{pmatrix}^2$.
$Dt =\dfrac{2a}{c} = \dfrac{2\sqrt{L^2 +\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}v\cdot Dt\end{pmatrix}^2}}{c}$

$Dt=2 \sqrt{\begin{pmatrix}\dfrac{L}{c}\end{pmatrix}^2 +\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2c}v\cdot Dt\end{pmatrix}^2}$

$Dt = 2\sqrt{\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}Dt'\end{pmatrix}^2 +\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2c} v\cdot Dt\end{pmatrix}^2} $

$Dt^2 =Dt'^2 + \dfrac{v^2}{c^2} Dt^2$

$Dt^2\begin{pmatrix}1-\dfrac{v^2}{c^2}\end{pmatrix}=Dt'^2$

$Dt =\dfrac{Dt'}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

Pour un observateur immobile, le temps propre s'écoule plus lentement dans le référentiel propre en mouvement que dans un référentiel immobile. Le temps est dilaté.
On suppose que l'on peut appliquer ce résultat pour comparer une durée propre mesurée par une horloge atomique embarquée dans un satellite à celle mesurée par un observateur situé dans le référentiel terrestre.
La vitesse du satellite est notée v.

Retard sur 24h

Retard $t_1$ de l'horloge embarquée au bout d'une journée $T_0$ = 24 heures mesuré sur terre.
$Dt =\dfrac{Dt'}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \approx Dt'\begin{pmatrix}1+\dfrac{1}{2}\dfrac{v^2}{c^2}\end{pmatrix}$ , $\dfrac{v^2}{c^2}$ étant petit devant 1
$t_1=T_0 (Dt-Dt') \approx \dfrac{1}{2}T_0\dfrac{v^2}{c^2}$
$Dt -Dt'$ est positif, l'horloge embarquée retarde.
A.N : $v = 3,9 km/s$
$t_1=0,5\times 24\times3600\times \dfrac{(3,9\cdot 10^3)^2}{(3,0\cdot10^8)^2} =7,3\cdot 10^{-6} \approx 7,3 µs$

Prise compte de ce retard dans la mise en oeuvre du GPS

Au bout d'une journée $t_1$ conduit à une imprécision de $7,3\cdot 10^{-6}\times 3,0\cdot 10^8 \approx 2,2 km$.
Il faut donc prendre en compte ce retard dans la mise en oeuvre du GPS.
Correction due à l'altitude : effet gravitationnel. Les satellites se meuvent à l'altitude $h$ de l'ordre de 20000 km.
Il s'agit ici de comparer la période d'une horloge embarquée à celle d'une horloge restée au sol en prenant en compte uniquement la différence de potentiel de gravitation ressenti.
Cet effet gravitationnel est à traiter dans le cadre de la relativité générale que nous allons aborder ici de façon très simplifiée.
Soit $T'$ la période de l'horloge embarquée mesurée dans le satellite et $T$ la période d'une horloge identique mesurée sur terre.
La correction gravitationnelle est donnée par : $\dfrac{T-T'}{T'} = \dfrac{U-U_0}{c^2}$
où $U$ désigne l'énergie potentielle massique de gravitation terrestre au niveau de l'horloge embarquée et $U_0$ celle au niveau de la surface de la terre.

Expression U-U0

$U_0 =\dfrac{E_{p0}}{m} = -\dfrac{GM}{R}$ avec R : rayon terrestre.
L'origine de l'énergie potentielle de gravitation est prise à l'infini.
$U = -\dfrac{GM}{R+h}$
$U-U_0 = GM (\dfrac{1}{R} -\dfrac{1}{R+h}) = GM (\dfrac{h}{R(R+h)})$
Or $g$, intensité du champ de gravitation au sol, est égal à : $g = \dfrac{GM}{R^2}$, d'où : $U-U_0 =g\cdot R\cdot \dfrac{h}{R+h}$.

Comparaison de T et T'

$\dfrac{T-T'}{T'} = \dfrac{U-U_0}{c^2} = g\cdot R\cdot \dfrac{h}{(R+h)c^2}$ $T-T'$ est positif, $T > T'$, l'horloge embarquée avance par rapport à celle restée au sol en considérant l'effet de gravitation.

Calculer cette avance, notée t2 au bout d'une journée.

$g\cdot R\cdot \dfrac{h}{(R+h)c^2} = 9,81\times 6,37\cdot 10^6\times \dfrac{2,0\cdot 10^7}{(6,37\cdot 10^6+2,0\cdot 10^7 ) \times 9,0\cdot 10^{16}} =5,27\cdot 10^{-10} s$
$t_2=T-T' \approx 24\times 3600\times 5,27\cdot 10^{-10} \approx 4,56\cdot 10^{-5} s \approx 45 µs $ par jour.

Comparaison de t1 et t2

$t_2$ est environ 7 fois supérieur à $t_1$.
Imprécision au bout d'une journée : $(45-7,3) 10^{-6}\times 3,0\cdot 10^8 \approx 11 km$
Les satellites sont équipés d'un synthétiseur de fréquence qui permet de corriger les deux effets précédents.
Ma théorie de localisation Plutot que de corriger un signal GPS, je pense qu'il est possible d'obtenir une distance précise sur terre avec une fréquence peut élevée (avec un éméteur RF 433.92MHZ).
L'objectif vas être de mesurer le déphasage entre deux signaux.
Avant tout, je vais chercher à déterminer la fréquence d'échantillonage en fonction de la distance mesurable de l'ordre du cm sur une distance de 100m.
Je ne m'appuis pas sur les équations de Maxwell, ou toute autre théorie, le je considère dans un premier temps un milieu parfait. Tout ceci n'est qu'a titre expérimental, bien entendu, et peut-être même stupide, mais je verai bien (idée à 6h00). Hypothèse: Pour une période de $p=\frac{1}{3,00\cdot 10^8} =3,3\cdot 10^{-9} s$
$\lambda=v\times T=\dfrac{v}{f}$