La thermodynamique

Limites des machines thermiques
Un moteur thermique ne peux fonctionner qu'avec deux sources de chaleur

Réversibilité et irréversibilité

Afin d'illustré l'irréversibilité, lorsque deux corps sont en contact, la chaleur vas toujours du plus chaud au plus froid

Je fini par avoir un équilibre thermique ou les deux corps sont à la même température.
Ce système est irréversible, car je ne peux pas revenir spontanément à la situation initiale

1.2. Entropie et variation d'entropie S

L'entropie est la mesure du désordre elle correspond à $\delta S=\dfrac{\delta Q}{T}$
L'entropie sera donc en $J\cdot K^{-1}$
Si $Q > 0$ le désordre augmente
Si $Q < 0$ le désordre diminue
L'entropie d'un système ne peut jamais diminuer.
Si $\delta S>0$ Le système est irréversible
Si $\delta S=0$ Le système est réversible (système idéal)

Le rendement des machines $\eta=\dfrac{énergie(sortie)}{énergie(entrée)}$.
Au bout d'un cycle la température du gaz revient à sa température initiale donc $\Delta U=0=Q_{total}-W$.
Le travail $W=Q_{total}=Q_{chaud}-Q_{froid}$ :

$\eta=\dfrac{W}{Q_{chaud}}=\dfrac{Q_{chaud}-Q_{froid}}{Q_{chaud}}=1-\dfrac{Q_{froid}}{Q_{chaud}}$

Variation d'entropie

En tenant compte de la variation d'entropie pour une système réversible $\Delta S=0$

Ce qui donne $\Delta S=\dfrac{Q_{chaud}}{T_{chaud}}-\dfrac{Q_{froid}}{T_{froid}}$
donc $\dfrac{Q_{chaud}}{T_{chaud}}=\dfrac{Q_{froid}}{T_{froid}}$
Pour le rendement : $\eta=1-\dfrac{T_{froid}}{T_{chaud}}$

Rappel : Spontanément la chaleur ne peut pas circuler d'une source froide vers une source chaude

En peut extraire de l'énergie à partir d'une source froide en produisant du travail $W$
avec $Q_{chaud}=Q_{froid}+W$.
Pour une pompe à chaleur : $\eta=\dfrac{Q_{chaud}}{W}$
Pour un réfrigérateur : $\eta=\dfrac{Q_{froid}}{W}$

Différente lois sur les gaz parfaits

Loi de Dalton		$P=\sum P_i$
Loi de Boyle-Mariotte	A température constante	$P\times V=constante$
		Beaucoup utilisé en plongée sous marine Un ballon contenant 1m3 d'air à 20m, contiendra donc 3m3 d'air au niveau de la mer $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$
Loi de Charles	A volume constant	$\dfrac{P}{T}=constante$
		Évolution de la température $\dfrac{P_1}{T_1}=\dfrac{P_2}{T_2}$
Loi de Gay-Lussac	A pression constante	$\dfrac{V}{T}=constante$
		Évolution du volume en fonction de la température. Utilisé par exemple pour dimensionner le volume d'un vase d'expansion en plomberie. Attention : température en K $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$
Loi des gaz parfaits	Équation des gaz	$P\cdot V=n\cdot R\cdot T$
	$P$ en pascal	$V$ en $m^3$
	$n$ quantité de matière en mole ($mol^{-1}$). $N_A=6,02214040\times 10^{23}$ nombre atomes par $mol$ (nombre d'Avogadro)
	$R=8,314 J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}$ constante universelle des gaz parfaits
	$T$ température en $K$ avec $K = ^{\circ} C + 273,15$

La quantité de chaleur reçue par un gaz parfait au cours d'une transformation isochore est égale à sa variation d'énergie interne. $\Delta U=Q$

La quantité de chaleur reçue par un gaz parfait au cours d'une transformation isobare est égale à sa variation d'enthalpie.
$H=U+pV$
$\Delta H=Q$

Quelle que soit la transformation subie par le gaz:

• 1^ère loi de Joule : $\Delta U=n\cdot C_V\cdot \Delta T$.
• 2^ème loi de Joule : $\Delta H=n\cdot C_P\cdot \Delta T$.

$C_V$ chaleur massique à volume constant $J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}$
$C_P$ chaleur massique à pression constante $J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}$

Relation de Mayer : $C_P-C_V=R$

On note $\gamma=\dfrac{C_P}{C_V}$ constante pour un gaz particulier

Ce qui donne pour les capacités molaires $J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}$ :

donc $C_V=\dfrac{R}{\gamma-1}$

donc $C_P=\dfrac{\gamma R}{\gamma-1}$

Pour les capacités massique $J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}$ :
$c_V=\dfrac{r}{\gamma-1}$
$c_P=\dfrac{\gamma r}{\gamma-1}$

Quel est le volume, en litres, occupé par $4 mol$ de méthane, $CH_4$, à une température de 18°C et une pression de 1,4 atm?
$M_{CH_4}=1\times M_C+4\times M_H$
$M_{CH_4}=1\times 12,0107+4\times 1,00794=16,04246 g\cdot mol^{-1}$
$P = {1,40atm}\times{101 325Pa}=141 855Pa$
$T=18^{\circ} C + 273,15=291,15K$
$P\cdot V=n\cdot R\cdot T$ donc $V=\dfrac{n\cdot R\cdot T}{P}$
$V=\dfrac{4 mol \times 8,314 J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1} \times 291,15K}{141 855Pa}=0,0683m^3$ soit $68dm^3$.
Le volume de méthane est de 68L.

Tableau : Formulaire pour les différents types d'énergie

Tableau : Capacité thermique massique

Exercice 1:

Quelle quantité d'énergie a-t-il dissipé sous forme de frottements ?

Solution

L'énergie mécanique du la cycliste a varié de : $\Delta E_M=E_{M2}-E_{M1}$
$\Delta E_M=m(g z_2-g z_1+\dfrac{1}{2} (C_2^2-C_1^2))$
$\Delta E_M=m\left[ g \left(z_2- z_1 \right)+\dfrac{1}{2} \left(C_2^2-C_1^2\right)\right]$
$\Delta E_M=70 \left[ 9,81 \left(490- 540 \right)+\dfrac{1}{2} \left(\left(\dfrac{45\cdot 10^3}{3600}\right)^2-\left(\dfrac{10\cdot 10^3}{3600}\right)^2\right)\right]$
$\Delta E_M=-29136 J$
Le cycliste a donc perdu $29,1 kJ$ d'énergie mécanique.
Cette quantité a été transmise à l’atmosphère, sous forme de turbulence et de chaleur, et aux roulements et pneus du vélo, sous forme de chaleur.

Exercice 2:

Quelle est l’énergie fournie au ressort sous forme de travail pendant la compression ?

Solution

Exercice 3:

Combien faut-il de chaleur pour faire passer un bloc de 50 kg d'acier depuis une température $T_A = 5°C$ jusqu'à une température $T_B = 18 °C$ ?

Solution

Exercice 4:

Combien faut-il d'énergie pour chauffer l'eau à $40°C$ avant de remplir une baignoire de 270 L ?

Combien de temps le réchauffage prendra-t-il si la puissance de chauUage est de $Q = +2 kW$?

Solution

Exercice 5:

Dimensionnez le piston sous le véhicule afin que la force dans le piston de poussée n'excède pas $100N$.

Quelle est la puissance nécessaire pour maintenir le véhicule en place ?
On souhaite soulever le véhicule de 25 cm, en moins de 30 secondes.

Selon quelle distance faudrait-t-il enfoncer le piston gauche pour cela ?

Quels seraient alors le travail et la puissance à fournir ?

Solution

Exercice 6:

• Au point haut (1), l’eau arrive à vitesse de $3m\cdot s^{-1}$ avec une température $T_1 = 5°C$ et une altitude $z_1 = 75m$.
• Au point bas (2), elle ressort à vitesse de $2,5m\cdot s^{-1}$ à température $T_2 = 5,04 °C$ et altitude $z_2 = 4m$.

Quelle est l'énergie spécifique mécanique gagnée ou perdue par l’eau en traversant l’installation ?

Avec quelle énergie spécifique est-elle réchauffée par le frottement ?

Quelle est la puissance (en watts) dégagée sous forme de travail par la turbine ?

Solution

Exercice 1: Turbine à eau

• Au point 1, l'eau arrive à vitesse de $3m\cdot s^{-1}$ avec une température $T_1 = 5 ^{\circ} C$ et une altitude $z_1 = 75m.$
• Au point 2, elle ressort à vitesse de $2,5m\cdot s^{-1}$ à température $T_2 = 5,04 ^{\circ} C$ et altitude $z_2 = 4m.$

Solution

1. $\Delta e_{méca.}=e_c+ep$
$\Delta e_{méca.}=\dfrac{1}{2}(c_2^2-c_1^2)+g(z_2-z_1)$
$\Delta e_{méca.}=\dfrac{1}{2}\times -2,75 +9,81 \times -71$
$\Delta e_{méca.} =-697,9 J\cdot kg^{-1}$ (donc une perte par l’eau)

2. $q_{1 \rightarrow 2}=c \cdot \Delta T$
$q_{1 \rightarrow 2}=4200 \times (5-5,04)$
$q_{1 \rightarrow 2}=+168 J\cdot kg^{-1}$

3. $W_{turbine}=m(\Delta e_{méca.}+q_{1 \rightarrow 2})$
$W_{turbine}=1200\times (-697,9+168)=-635862W$
$W_{turbine}=-635,9kW$

Exercice 2: Chaudière de chauffage central

La chaudière du système de chauffage central d'un bâtiment, fonctionne avec la combustion du kérosène. L'eau pénètre dans la chaudière à une température $T_C = 20 ^{\circ} C$ et en ressort à $T_D = 70 ^{\circ} C$, avec un débit $V_{eau} = 0,25 L\cdot s^{-1}$. La chambre de combustion admet de l'air à $T_A = 8 ^{\circ} C$ et il ressort par la cheminée à une température $T_B = 120 ^{\circ} C$ ; le débit d'air est de $m_{air}= 0,5 kg\cdot s^{-1}$. Chaleur spécifique de combustion du kérosène : $46,4 MJ\cdot kg^{-1}$. Capacité calorifique massique de l'eau liquide : $4,18 kJ\cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ Capacité calorifique massique de l'air à pression constante : $1,15 kJ\cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ 1. Quelle est la consommation horaire de kérosène par la chaudière ? 2. Quelle est l'efficacité de la chaudière, c'est à dire le rapport entre son transfert de chaleur utile et sa consommation énergétique ?

Solution

1. Recherche du débit du kérosène:
$\dot m_{kérosène}=\dfrac{\dot Q_{kérosène}}{q_{kérosène}}$
$\dot m_{kérosène}=\dfrac{-(\dot Q_{eau}+\dot Q_{air})}{q_{kérosène}}$
$\dot m_{kérosène}=\dfrac{-(m_{eau}\cdot c_{eau}\cdot \Delta T_{eau}+m_{air}\cdot c_{air}\cdot \Delta T_{air})}{q_{kérosène}}$
$\dot m_{kérosène}=\dfrac{-(0,25\times 4~180\times (70-20)+ 0,5\times 1~150\times (120-8))}{46,4\cdot 10^6}$
$\dot m_{kérosène}=\dfrac{116~650}{46,4\cdot 10^6}=2,508\cdot 10^{-3} kg\cdot s^{-1}$
soit un débit de $2,508\cdot 10^{-3}\times 3600=9,31 kg\cdot h^{-1}$

Exercice 3: Turbomoteur d'hélicoptère

Un hélicoptère est muni de deux turbomoteurs, c'est à dire de turbomachines dont le but est de faire tourner un arbre sortant du moteur.

Nous pouvons évaluer plusieurs caractéristiques de ces moteurs sans connaître précisément leur fonctionnement interne.
Chacun des deux moteurs admet de l'air atmosphérique à température de $15^{\circ} C$.
L'air y est compressé, réchauffé, puis détendu, ce qui permet de dégager du travail pour faire tourner les rotors.
À la sortie du moteur, l'air est rejeté à pression atmosphérique et température de $360^{\circ} C$.
Capacité calorifique massique de l'air à pression constante : $c_{p~air}=1~050~J\cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$
Chaleur spécifique de combustion du kérosène : $46,4~MJ\cdot kg^{-1}$.
1. Quelle est la puissance spécifique rejetée par les moteurs sous forme de chaleur dans l'atmosphère ?

Le manuel de vol indique que dans la chambre de combustion (la partie du moteur où est brûlé le carburant),
l'air est admis à température de $250^{\circ} C$ et qu'il y est réchauffé par la combustion, à pression constante, jusqu’à $776^{\circ} C$.

2. Quelle est la puissance spécifique dégagée par les moteurs sous forme de travail ?

Pour maintenir l'hélicoptère en vol stationnaire en pleine charge, les rotors demandent aux deux moteurs une puissance totale sous forme de travail de $1,32MW$ (environ $1~800 ch$).
3. Quel débit d'air faut-il admettre au total dans les deux turbomoteurs ?
4. Quelle est alors la puissance totale (en $W$) à fournir dans les deux chambres de combustion ?
5. Quelle est la consommation horaire en kérosène de l'hélicoptère en vol stationnaire ?

Solution

1. c’est la chaleur spécifique que doit perdre l'air rejeté pour retrouver sa température initiale
$q_{air}=-c_{p~air}\cdot \Delta T=1~050\times (360-15)=-362~250~J\cdot kg^{-1}$

2.toute l'énergie perdue par l'air sous forme de travail et de chaleur lui a été apportée dans la chambre de combustion.
$q_{chambre} +w_{arbre~moteur}+q_{air}=0$
$w_{arbre~moteur}=-(q_{chambre}+q_{air})$
Énergie gagnée par l'air dans la chambre de combustion :
$q_{chambre}=c_{p~air}\cdot \Delta T=1~050\times (776-250)=552~300~J\cdot kg^{-1}$
$w_{arbre~moteur}=-(552~300-362~250)=-190~050~J\cdot kg^{-1}$
Ces puissances ne dépendent pas du débit de masse, et donc pas du nombre de moteurs considérés.

3. Le débit d'air correspond à $\dot m_{air}=\dfrac{W_{rotors}}{w_{arbre~moteur}}=\dfrac{1,32\cdot 10^6}{190~050}=6,95 kg\cdot s^{-1}$

4.$\dot Q_{chambres}= \dot m_{air}\cdot c_{p~air}\cdot \Delta T_{chambres}$
$\dot Q_{chambres}= 6,95 \times 1~050\times (776-250)=3~836~022 W$ soit $3,836MW$

5. $\dot m_{kérosène}=3600\times \dfrac{\dot Q_{chambres}}{q_{kérosène}}$
$\dot m_{kérosène}=3600\times \dfrac{3~836~022}{46,4\cdot 10^6}=297,6 kg\cdot h^{-1}$