Hétérogénius

Calcul de poutre en éléments finis

Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur la mécanique

Les matrices de rigidité

Pour chacun des noeurs

$\require{cancel} $ $\begin{bmatrix} F_i \\ M_i \\ F_j \\ M_j \end{bmatrix}= \dfrac{E\cdot I}{L^3} \begin{bmatrix} \overset{v_i}{12} & \overset{\phi_i}{6L} & \overset{v_j}{-12} & \overset{\phi_j}{6L} \\ 6L & 4L^2 & -6L & 2L^2 \\ -12 & -6L & 12 & -6L\\ 6L & 2L^2 & -6L & 4L^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_i \\ \phi_i \\ v_j \\ \phi_j \end{bmatrix}$
Avec
Assemblage des matrices de noeuds
Noeud 1Noeud 2Matrice de rigidité globale
$\begin{bmatrix} F_1 \\ M_1 \\ F_2 \\ M_2 \end{bmatrix}= \dfrac{E\cdot I}{L^3} \color{red}{\begin{bmatrix} 12 & 6L_1 & -12 & 6L_1 \\ 6L_1 & 4L_1^2 & -6L_1 & 2L_1^2 \\ -12 & -6L_1 & 12 & -6L_1\\ 6L_1 & 2L_1^2 & -6L_1 & 4L_1^2 \end{bmatrix}} \begin{bmatrix} v_1 \\ \phi_1 \\ v_2 \\ \phi_2 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} F_2 \\ M_2 \\ F_3 \\ M_3 \end{bmatrix}= \dfrac{E\cdot I}{L^3} \color{blue}{\begin{bmatrix} 12 & 6L_2 & -12 & 6L_2 \\ 6L_2 & 4L_2^2 & -6L_2 & 2L_2^2 \\ -12 & -6L_2 & 12 & -6L_2\\ 6L_2 & 2L_2^2 & -6L_2 & 4L_2^2 \end{bmatrix}} \begin{bmatrix} v_2 \\ \phi_2 \\ v_3 \\ \phi_3 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} F_1 \\ M_1 \\ F_2 \\ M_2 \\ F_3 \\ M_3 \end{bmatrix}= \dfrac{E\cdot I}{L^3} \begin{bmatrix} \color{red}{12} & \color{red}{6L_1} & \color{red}{-12} & \color{red}{6L_1} & \color{green}{0} & \color{green}{0}\\ \color{red}{6L_1} & \color{red}{4L_1^2} & \color{red}{-6L_1} & \color{red}{2L_1^2} & \color{green}{0} & \color{green}{0}\\ \color{red}{-12} & \color{red}{-6L_1} & \color{purple}{12+12} & \color{purple}{-6L_1+6L_2} & \color{blue}{-12} & \color{blue}{6L_2}\\ \color{red}{6L_1} & \color{red}{2L_1^2} & \color{purple}{-6L_1+6L_2} & \color{purple}{4L_1^2+4L_2^2} & \color{blue}{-6L_2} & \color{blue}{2L_1^2} \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{blue}{-12} & \color{blue}{-6L_2} & \color{blue}{12} & \color{blue}{-6L_2}\\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{blue}{6L_2} & \color{blue}{2L_2^2} & \color{blue}{-6L_2} & \color{blue}{4L_2^2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ \phi_1 \\ v_2 \\ \phi_2 \\ v_3 \\ \phi_3 \end{bmatrix}$
Exemple 1 de résolution
$v_1=0$ (déplacement en y1=0), $\phi_1=0$, $v_3=0$ (déplacement en y3=0), $L=L_1=L_2$
$\begin{bmatrix} F_1=? \\ M_1=? \\ F_2=-1000 \\ M_2=1000 \\ F_3=? \\ M_3=0 \end{bmatrix}= \dfrac{E\cdot I}{L^3} \begin{bmatrix} \overset{v_1=0}{\cancel{12}} & \overset{\phi_1=0}{\cancel{6L_1}} & \overset{v_2=?}{\cancel{-12}} & \overset{\phi_2=?}{\cancel{6L}} & \overset{v_3=0}{\cancel{0}} & \overset{\phi_3=?}{\cancel{0}} \\ \cancel{6L_1} & \cancel{4L_1^2} & \cancel{-6L_1} & \cancel{2L_1^2} & \cancel{0} & \cancel{0}\\ \cancel{-12} & \cancel{-6L_1} & 12+12 & -6L_1+6L_2 & \cancel{-12} & 6L_2\\ \cancel{6L_1} & \cancel{2L_1^2} & -6L_1+6L_2 & 4L_1^2+4L_2^2 & \cancel{-6L_2} & 2L_1^2 \\ \cancel{0} & \cancel{ 0} & \cancel{-12} & \cancel{-6L_2} & \cancel{12} & \cancel{-6L_2}\\ \cancel{0} & \cancel{0} & 6L_2 & 2L_2^2 & \cancel{-6L_2} & 4L_2^2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1=0 \\ \phi_1=0 \\ v_2=? \\ \phi_2=? \\ v_3=0 \\ \phi_3=? \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}F_2=-1000 \\ M_2=1000 \\ M_3=0 \end{bmatrix}= \dfrac{E\cdot I}{L^3} \begin{bmatrix} 12+12 & -6L_1+6L_2 & 6L_2\\ -6L_1+6L_2 & 4L_1^2+4L_2^2 & 2L_1^2 \\ 6L_2 & 2L_2^2 & 4L_2^2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_2=? \\ \phi_2=? \\ \phi_3=? \end{bmatrix}$

Comme dans l'hypothèse $L_1=L_2=L$:
$\begin{bmatrix}F_2=-1000 \\ M_2=1000 \\ M_3=0 \end{bmatrix}= \dfrac{E\cdot I}{L^3} \begin{bmatrix} 24 & 0 & 6L\\ 0 & 8L^2 & 2L^2 \\ 6L & 2L^2 & 4L^2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_2=? \\ \phi_2=? \\ \phi_3=? \end{bmatrix}$

Réécriture de K

$K=E\cdot I \begin{bmatrix} 24\cdot \frac{1}{L^3} & 0 & 6\cdot \frac{L}{L^3} \\ 0 & 8 \frac{L^2}{L^3} & 2\cdot \frac{L^2}{L^3} \\ 6\cdot \frac{L}{L^3} & 2 \frac{L^2}{L^3} & 4 \frac{L^2}{L^3} \end{bmatrix} =E\cdot I \begin{bmatrix} \frac{24}{L^3} & 0 & \frac{6}{L^2} \\ 0 & \frac{8}{L} & \frac2{L} \\ \frac{6}{L^2} & \frac2{L} & \frac{4}{L} \end{bmatrix}$

Calcul des déplacements en fonction des efforts

$\{F\}=[K]\times \{d\}$ donc $\{d\}=[K]^{-1}\times \{F\} $

Matrice inverse de K

$K^{-1}=\dfrac{1}{E\cdot I}\begin{bmatrix} \frac{7\cdot L^3}{96} & \frac{L^2}{32} & \frac{-L^2}{8} \\ \frac{L^2}{32} & \frac{5\cdot L}{32} & \frac{-L}{8} \\ \frac{-L^2}{8} & \frac{-L}{8} & \frac{L}2 \end{bmatrix}$

Résolution

$\begin{bmatrix} v_2=? \\ \phi_2=? \\ \phi_3=? \end{bmatrix}=\dfrac{1}{E\cdot I} \begin{bmatrix} \frac{7\cdot L^3}{96} & \frac{L^2}{32} & \frac{-L^2}{8} \\ \frac{L^2}{32} & \frac{5\cdot L}{32} & \frac{-L}{8} \\ \frac{-L^2}{8} & \frac{-L}{8} & \frac{L}2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}F_2=-1000 \\ M_2=1000 \\ M_3=0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} v_2=? \\ \phi_2=? \\ \phi_3=? \end{bmatrix}=\dfrac{1}{E\cdot I}\begin{bmatrix} \frac{7\cdot F_2\cdot L^3+3\cdot L^2\cdot M_2-12\cdot L^2\cdot M_3}{96} \\ \frac{F_2\cdot L^2+5\cdot L\cdot M_2-4\cdot L\cdot M_3}{32} \\ \frac{-F_2\cdot L^2-L\cdot M_2+4\cdot L\cdot M_3}{8} \end{bmatrix}$

Application numérique

$\begin{bmatrix} v_2=? \\ \phi_2=? \\ \phi_3=? \end{bmatrix}=\dfrac{1}{E\cdot I} \begin{bmatrix} \frac{-875\cdot L^3+375\cdot L^2}{12} \\ \frac{-125\cdot L^2+625\cdot L}{4} \\ 125\cdot L^2-125\cdot L \end{bmatrix}$

On prendra $L=100mm, E=200000N/mm^2, I=50mm^4$

$v_2=\dfrac{1}{200000\times 50}\times \frac{-875\cdot 100^3+375\cdot 100^2}{12}=-0.00726042mm$
$\phi_2=\dfrac{1}{200000\times 50}\times \frac{-125\cdot L^2+625\cdot L}{4}=-0.00312344$
$\phi_3=\dfrac{1}{200000\times 50}\times 125\cdot L^2-125\cdot L=0.00012375$
Exemple 2 de résolution

L'hypothèse de charge répartir se retrouve à ajouter deux noeuds supplémentaire afin de résoudre le systeme

$v_1=0$ (déplacement en y1=0), $\phi_1=?$, $v_2=?$, $\phi_2=?$, $v_3=0$, $\phi_3=?$, $v_4=?$, $\phi_4=?$, $v_5=0$, $\phi_5=?$, $L=L_1=L_2$

Assemblage des matrices de noeuds

$\begin{bmatrix} F_1=? \\ M_1=0 \\ F_2=P \\ M_2=0 \\ F_3=? \\ M_3=0 \\ F_4=P \\ M_4=0 \\ F_5=? \\ M_5=0\end{bmatrix}= \dfrac{E\cdot I}{L^3} \begin{bmatrix} \overset{v_1=0}{12} & \overset{\phi_1=?}{6L} & \overset{v_2=?}{-12} & \overset{\phi_2=?}{6L} & \overset{v_3=0}{0} & \overset{\phi_3=?}{0} & \overset{v_4=?}{0} & \overset{\phi_4=?}{0} & \overset{v_5=0}{0} & \overset{\phi_5=?}{0} \\ 6L & 4L^2 & -6L & 2L^2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -12 & -6L & 24 & 0 & -12 & 6L & 0 & 0 & 0 & 0\\ 6L & 2L^2 & 0 & 8L^2 & -6L & 2L^2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -12 & -6L & 24 & 0 & -12 & 6L & 0 & 0\\ 0 & 0 & 6L & 2L^2 & 0 & 8L^2 & -6L & 2L^2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -12 & -6L & 24 & 0 & -12 & 6L\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6L & 2L^2 & 0 & 8L^2 & -6L & 2L^2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -12 &-6L & 12 & -6L \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6L & 2L^2 & -6L & 4L^2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1=0\\ \phi_1=? \\ v_2=? \\ \phi_2=? \\ v_3=0 \\ \phi_3=? \\ v_4=? \\ \phi_4=? \\ v_5=0 \\ \phi_5=?\end{bmatrix}$

Résultat de K

$\begin{bmatrix} M_1=0 \\ F_2=P \\ M_2=0 \\ M_3=0 \\ F_4=P \\ M_4=0 \\ M_5=0\end{bmatrix}= \dfrac{E\cdot I}{L^3} \begin{bmatrix} 4L^2 & -6L & 2L^2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -6L & 24 & 0 & 6L & 0 & 0 & 0\\ 2L^2 & 0 & 8L^2 & 2L^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 6L & 2L^2 & 8L^2 & -6L & 2L^2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -6L & 24 & 0 & 6L\\ 0 & 0 & 0 & 2L^2 & 0 & 8L^2 & 2L^2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6L & 2L^2 & 4L^2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \phi_1=? \\ v_2=? \\ \phi_2=? \\\phi_3=? \\ v_4=? \\ \phi_4=? \\ \phi_5=? \end{bmatrix}$

Réécriture de K

$K=\dfrac{E\cdot I}{L^2} \begin{bmatrix} 4\cdot L & -6 & 2\cdot L & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -6 & \frac{24}{L} & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 2\cdot L & 0 & 8\cdot L & 2\cdot L & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2\cdot L & 8\cdot L & -6 & 2\cdot L & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -6 & \frac{24}{L} & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 2\cdot L & 0 & 8\cdot L & 2\cdot L \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2\cdot L & 4\cdot L \end{bmatrix} $

Matrice inverse de K

$K^-1=\dfrac{L^2}{E\cdot I} \begin{bmatrix} \frac{7}{12\cdot L} & \frac{3}{16} & \frac{-5}{48\cdot L} & \frac{-1}{6\cdot L} & \frac{-1}{16} & \frac{1}{48\cdot L} & \frac{1}{12\cdot L} \\ \frac{3}{16} & \frac{23\cdot L}{192} & \frac{-1}{64} & \frac{-1}{8} & -\frac{3\cdot L}{64} & \frac{1}{64} & \frac{1}{16} \\ \frac{-5}{48\cdot L} & \frac{-1}{64} & \frac{31}{192\cdot L} & \frac{-1}{24\cdot L} & \frac{-1}{64} & \frac{1}{192\cdot L} & \frac{1}{48\cdot L} \\ \frac{-1}{6\cdot L} & \frac{-1}{8} & \frac{-1}{24\cdot L} & \frac{1}{3\cdot L} & \frac{1}{8} & \frac{-1}{24\cdot L} & \frac{-1}{6\cdot L} \\ \frac{-1}{16} & \frac{-3\cdot L}{64} & \frac{-1}{64} & \frac{1}{8} & \frac{23\cdot L}{192} & \frac{1}{64} & \frac{-3}{16} \\ \frac{1}{48\cdot L} & \frac{1}{64} & \frac{1}{192\cdot L} & \frac{-1}{24\cdot L} & \frac{1}{64} & \frac{31}{192\cdot L} & \frac{-5}{48\cdot L} \\ \frac{1}{12\cdot L} & \frac{1}{16} & \frac{1}{48\cdot L} & \frac{-1}{6\cdot L} & \frac{-3}{16} & \frac{-5}{48\cdot L} & \frac{7}{12\cdot L} \end{bmatrix} $

$K^-1= \begin{bmatrix} \frac{7\cdot L}{12\cdot E\cdot I} & \frac{3\cdot L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{-5\cdot L}{48\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{6\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{L}{48\cdot E\cdot I} & \frac{L}{12\cdot E\cdot I} \\ \frac{3\cdot L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{23\cdot L^{3}}{192\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{8\cdot E\cdot I} & \frac{-3\cdot L^{3}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{16\cdot E\cdot I} \\ \frac{-5\cdot L}{48\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{31\cdot L}{192\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{24\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{L}{192\cdot E\cdot I} & \frac{L}{48\cdot E\cdot I} \\ \frac{-L}{6\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{8\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{24\cdot E\cdot I} & \frac{L}{3\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{8\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{24\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{6\cdot E\cdot I} \\ \frac{-L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{-3\cdot L^{3}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{8\cdot E\cdot I} & \frac{23\dot L^{3}}{192\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & -3 \frac{L^{2}}{16\cdot E\cdot I} \\ \frac{L}{48\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{L}{192\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{24\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{31\cdot L}{192\cdot E\cdot I} & -5\cdot \frac{L}{48\cdot E\cdot I} \\ \frac{L}{12\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{L}{48\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{6\cdot E\cdot I} & \frac{-3 \cdot L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{-5\cdot L}{48\cdot E\cdot I} & 7\cdot \frac{L}{12\cdot E\cdot I} \end{bmatrix}$

Calcul des déplacements en fonction des efforts

$d=[K]^{-1}\times F $
$\begin{bmatrix} \phi_1=? \\ v_2=? \\ \phi_2=? \\\phi_3=? \\ v_4=? \\ \phi_4=? \\ \phi_5=? \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{7\cdot L}{12\cdot E\cdot I} & \frac{3\cdot L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{-5\cdot L}{48\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{6\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{L}{48\cdot E\cdot I} & \frac{L}{12\cdot E\cdot I} \\ \frac{3\cdot L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{23\cdot L^{3}}{192\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{8\cdot E\cdot I} & \frac{-3\cdot L^{3}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{16\cdot E\cdot I} \\ \frac{-5\cdot L}{48\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{31\cdot L}{192\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{24\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{L}{192\cdot E\cdot I} & \frac{L}{48\cdot E\cdot I} \\ \frac{-L}{6\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{8\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{24\cdot E\cdot I} & \frac{L}{3\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{8\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{24\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{6\cdot E\cdot I} \\ \frac{-L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{-3\cdot L^{3}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{-L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{8\cdot E\cdot I} & \frac{23\dot L^{3}}{192\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & -3 \frac{L^{2}}{16\cdot E\cdot I} \\ \frac{L}{48\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{L}{192\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{24\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{64\cdot E\cdot I} & \frac{31\cdot L}{192\cdot E\cdot I} & -5\cdot \frac{L}{48\cdot E\cdot I} \\ \frac{L}{12\cdot E\cdot I} & \frac{L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{L}{48\cdot E\cdot I} & \frac{-L}{6\cdot E\cdot I} & \frac{-3 \cdot L^{2}}{16\cdot E\cdot I} & \frac{-5\cdot L}{48\cdot E\cdot I} & 7\cdot \frac{L}{12\cdot E\cdot I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_1=0 \\ F_2=P \\ M_2=0 \\ M_3=0 \\ F_4=P \\ M_4=0 \\ M_5=0\end{bmatrix} $

Résolution des déplacements

$ \begin{bmatrix} \phi_1=? \\ v_2=? \\ \phi_2=? \\\phi_3=? \\ v_4=? \\ \phi_4=? \\ \phi_5=? \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} L^{2}\cdot \frac{P}{8\cdot E\cdot I} \\ 7\cdot L^{3}\cdot \frac{P}{96\cdot E\cdot I} \\ -L^{2}\cdot \frac{P}{32\cdot E\cdot I} \\ 0 \\ 7\cdot L^{3}\cdot \frac{P}{96\cdot E\cdot I} \\ L^{2}\cdot \frac{P}{32\cdot E\cdot I} \\ -L^{2}\cdot \frac{P}{8\cdot E\cdot I} \end{bmatrix}$

$\phi_1=L^{2}\cdot \frac{P}{8\cdot E\cdot I}\\ v_2=7\cdot L^{3}\cdot \frac{P}{96\cdot E\cdot I} \\ \phi_2=-\frac{\phi_1}{4}\\ \phi_3=0 \\ v_4=v_2 \\ \phi_4=-\phi_2\\ \phi_5=-\phi_1 $

Résolution des forces et moments

$F=K\times d$
$K=\begin{bmatrix} 12\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & 6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & -12\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & 6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 4\cdot E\cdot \frac{I}{L} & -6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 2\cdot E\cdot \frac{I}{L} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -12\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & -6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 24\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & 0 & -12\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & 6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 2\cdot E\cdot \frac{I}{L} & 0 & 8\cdot E\cdot \frac{I}{L} & -6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 2\cdot E\cdot \frac{I}{L} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -12\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & -6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 24\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & 0 & -12\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & 6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 2\cdot E\cdot \frac{I}{L} & 0 & 8\cdot E\cdot \frac{I}{L} & -6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 2\cdot E\cdot \frac{I}{L} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -12\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & -6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 24\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & 0 & -12\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & 6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 2\cdot E\cdot \frac{I}{L} & 0 & 8\cdot E\cdot \frac{I}{L} & -6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 2\cdot E\cdot \frac{I}{L} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -12\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & -6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 12\cdot E\cdot \frac{I}{L^{3}} & -6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 2\cdot E\cdot \frac{I}{L} & -6\cdot E\cdot \frac{I}{L^{2}} & 4\cdot E\cdot \frac{I}{L} \end{bmatrix} \\ \\ d= \begin{bmatrix} v_1= \\ \phi_1= \\ v_2= \\ \phi_2= \\v_3= \\ \phi_3= \\ v_4= \\ \phi_4= \\v_5= \\ \phi_5= \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ L^{2}\cdot \frac{P}{8\cdot E\cdot I} \\ 7\cdot L^{3}\cdot \frac{P}{96\cdot E\cdot I} \\ -L^{2}\cdot \frac{P}{32\cdot E\cdot I} \\ 0 \\ 0 \\ 7\cdot L^{3}\cdot \frac{P}{96\cdot E\cdot I} \\ L^{2}\cdot \frac{P}{32\cdot E\cdot I} \\ 0 \\ -L^{2}\cdot \frac{P}{8\cdot E\cdot I} \end{bmatrix}$

Après multiplication et simplification on trouve:

$\begin{bmatrix} F_1=? \\ M_1=0 \\ F_2=P \\ M_2=0 \\ F_3=? \\ M_3=0 \\ F_4=P \\ M_4=0 \\ F_5=? \\ M_5=0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{-5\cdot P}{16} \\ 0 \\ P \\ 0 \\ \frac{-11\cdot P}{8} \\ 0 \\ P \\ 0 \\ \frac{-5\cdot P}{16} \\ 0 \end{bmatrix} $

Application numérique

Carré plein : 10x10.00mm Nom du matériau = Acier S235JRG2
Module de Young = 210000 MPa
Masse volumique = 7850 kg/m3
Limite élastique = 275 MPa
L=100 mm
F=-1000 N
Moment quadratique : Iz = 0.08 cm4 Iz=800 mm4
Pour les Résultats, $v$ en mm, et $\phi$ en radian, $F$ en N(Newton), $M$ en Nmm

$\begin{array}{c c} \begin{bmatrix} v_1= \\ \phi_1= \\ v_2= \\ \phi_2= \\v_3= \\ \phi_3= \\ v_4= \\ \phi_4= \\v_5= \\ \phi_5= \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0.0 \\ -0.00744048 \\ -0.434028 \\ 0.00186012 \\ 0.0 \\ 0.0 \\ -0.434028 \\ -0.00186012 \\ 0.0 \\ 0.00744048 \end{bmatrix} & \quad\quad \begin{bmatrix} F_1= \\ M_1= \\ F_2= \\ M_2= \\ F_3= \\ M_3= \\ F_4= \\ M_4= \\ F_5= \\ M_5=\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 312.5 \\ 0.0 \\ -1000.0 \\ 0.0 \\ 1375.0 \\ 0.0 \\ -1000.0 \\ 0.0 \\ 312.5 \\ 0.0 \end{bmatrix} \end{array} $
Exemple 3 de résolution
$v_1=0$ (déplacement en y1=0), $v_2=0$ (déplacement en y2=0), $v_3=0$ (déplacement en y3=0), $v_4=0$ (déplacement en y4=0), $L=L_1=L_2=L_3$

Assemblage des matrices de noeuds

$\begin{bmatrix} F_1=? \\ M_1=0 \\ F_2=? \\ M_2=0 \\ F_3=? \\ M_3=0 \\ F_4=? \\ M_4=0\end{bmatrix}= \dfrac{E\cdot I}{L^3} \begin{bmatrix} \overset{v_1=0}{\cancel{12}} & \overset{\phi_1=?}{\cancel{6L}} & \overset{v_2=0}{\cancel{-12}} & \overset{\phi_2=?}{\cancel{6L}} & \overset{v_3=0}{\cancel{0}} & \overset{\phi_3=?}{\cancel{0}} & \overset{v_4=0}{\cancel{0}} & \overset{\phi_4=?}{\cancel{0}}\\ 6L & 2L^2 & -6L+6L & 4L^2+4L^2 & -6L & 2L^2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -12 & -6L & 12 & -6L \\ 0 & 0 & 6L & 2L^2 & -6L & 4L^2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ \phi_1 \\ v_2 \\ \phi_2 \\ v_3 \\ \phi_3 \end{bmatrix}$
Méthode du pivot de Gauss

La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est échelonné et est donc facile à résoudre:
Les opérations autorisées pour transformer ce système sont :

Démontration par l'exemple

Soit le système d'équation suivant:
$\require{color} \left\{ \begin{array}{rcll} 2x+y-3z&=&1&L_1\\ 3x+2y-2z&=&-4&L_2\\ -x+4y+6z&=&22&L_3 \end{array}\right.$
L'équation peut s'écrire sous forme matricielle:
$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -3 \\ 3 & 2 & -2 \\ -1 & -4 & 6 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -4 \\ 22 \end{array}\right)$
ce qui correspond à la matrice (appelée augmentée):
$\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -2 & -4 \\ -1 & -4 & 6 & 22 \end{array} \right)$

Démarche informatique

Afin de resoude la matrice K ansi que de gérer inverse $K^{-1}$ on ajoute la matrice identité

Étape 1 — init : Matrice augmentée initiale $[K | I]$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -2 & -4 \\ -1 & -4 & 6 & 22 \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$

Étape 2 — max col : Trouver le pivot (max absolu) pour stabilité, pour la colonne 1 valeur 3

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 1 \\ \color{DarkOrange}{3} & 2 & -2 & -4 \\ -1 & -4 & 6 & 22 \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$

Étape 3 — swap : Échange $L_1 \longleftrightarrow L_2$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & -3 & 1 \\ -1 & -4 & 6 & 22 \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1\leftarrow L_2 \\ L_2\leftarrow L_1 \\ L_3 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$

Étape 4 — scale : Normalisation de la ligne 1 (division par le pivot 3)

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{4}{3} \\ 2 & 1 & -3 & 1 \\ -1 & -4 & 6 & 22 \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1\leftarrow \frac{L_1}{3} \\ L_2 \\ L_3 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$

Étape 5 — eliminate : $L_2 \leftarrow L_2-2\times L_1$
Principe détaillé

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{4}{3} \\ 2\color{DarkOrange}{-2\times 1} = \color{green}{0} & 1\color{DarkOrange}{-2\times \frac{2}{3}} = \color{green}{-\frac{1}{3}} & -3\color{DarkOrange}{-2\times \frac{-2}{3}}=\color{green}{-\frac{5}{3}} & 1\color{DarkOrange}{-2\times \frac{-4}{3}} = \color{green}{-\frac{11}{3}} \\ -1 & -4 & 6 & 22 \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1 \\ L_2\leftarrow L_2-2\times L_1 \\ L_3 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ \color{green}{1} & -\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$

Étape 6 — eliminate : $L_3 \leftarrow L_3-(-1)\times L_1$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{4}{3} \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{11}{3} \\ 0 & -\frac{10}{3} & \frac{16}{3} & \frac{62}{3} \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \\ L_3 \leftarrow L_3+L_1 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \color{green}{1} \end{array} \right) \end{array}$

Étape 7 — max col : Trouver le pivot (max absolu) pour stabilité, pour la colonne 2 $\left(-\frac{10}{3} \right)$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{4}{3} \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{11}{3} \\ 0 & \color{DarkOrange}{-\frac{10}{3}} & \frac{16}{3} & \frac{62}{3} \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \\ L_3 \leftarrow L_3+L_1 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 \end{array} \right) \end{array}$

Étape 8 — swap : Échange $L_2 \longleftrightarrow L_3$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{4}{3} \\ 0 & -\frac{10}{3} & \frac{16}{3} & \frac{62}{3} \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{11}{3} \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1 \\ L_2\longleftrightarrow L_3 \\ L_3 \longleftrightarrow L_2 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 \\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \end{array} \right) \end{array}$

Étape 9 — scale : Normalisation de la ligne 2, division par le pivot $-\frac{10}{3}$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{4}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{16}{10} & -\frac{62}{10} \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{11}{3} \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1 \\ L_2\leftarrow L_2\times -\frac{3}{10} \\ L_3 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{10} & -\frac{3}{10} \\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \end{array} \right) \end{array}$

Étape 10 — eliminate : $L_1\leftarrow L_1-\frac{2}{3}\times L_2$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & -\frac{31}{5} \\ 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & \frac{11}{3} \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1\leftarrow L_1 -\frac{2}{3}\times L_2 \\ L_2 \\ L_3 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & -\frac{1}{10} & -\frac{3}{10} \\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \end{array} \right) \end{array}$

Étape 11 — eliminate : $L_3 \leftarrow L_3 - \frac{-1}{3}\times L_2$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & -\frac{31}{5} \\ 0 & 0 & -\frac{11}{5} & \frac{8}{5} \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \\ L_3\leftarrow L_3 +\frac{1}{3}\times L_2 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & -\frac{1}{10} & -\frac{3}{10} \\ 1 & -\frac{7}{10} & -\frac{1}{10} \end{array} \right) \end{array}$

Étape 12 — max col : Trouver le pivot (max absolu) pour stabilité, pour la colonne 3 $-\frac{11}{5}$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & -\frac{31}{5} \\ 0 & 0 & \color{DarkOrange}{-\frac{11}{5}} & \frac{8}{5} \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & -\frac{1}{10} & -\frac{3}{10} \\ 1 & -\frac{7}{10} & -\frac{1}{10} \end{array} \right) \end{array}$

Étape 13 — scale : Normalisation de la ligne 3,division par le pivot $-\frac{11}{5}$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & -\frac{31}{5} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{8}{11} \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \\ L_3\leftarrow L_3 \times -\frac{5}{11} \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & -\frac{1}{10} & -\frac{3}{10} \\ -\frac{5}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \end{array} \right) \end{array}$

Étape 14 — eliminate : $L_1\leftarrow L_1 - \frac{2}{5}\times L_3$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{34}{11} \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & -\frac{31}{5} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{8}{11} \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1\leftarrow L_1 - \frac{2}{5}\times L_3 \\ L_2 \\ L_3 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} \frac{2}{11} & \frac{3}{11} & \frac{2}{11} \\ 0 & -\frac{1}{10} & -\frac{3}{10} \\ -\frac{5}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \end{array} \right) \end{array}$

Étape 15 — eliminate : $L_2\leftarrow L_2 - \frac{-8}{5}\times L_3$

$\begin{array}{c c | c} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{34}{11} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{81}{11} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{8}{11} \end{array} \right) \begin{array}{c} L_1\\ L_2\leftarrow L_2 + \frac{8}{5}\times L_3 \\ L_3 \end{array} &\qquad\qquad\qquad \left( \begin{array}{ccc} \frac{2}{11} & \frac{3}{11} & \frac{2}{11} \\ -\frac{8}{11} & \frac{9}{22} & -\frac{5}{22} \\ -\frac{5}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \end{array} \right) \end{array}$

Étape 16 — done : Terminé — résultat et inverse obtenue sur la partie droite

$x=\frac{34}{11} ; y=-\frac{81}{11} ; z=-\frac{8}{11}$
$K^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} \frac{2}{11} & \frac{3}{11} & \frac{2}{11} \\ -\frac{8}{11} & \frac{9}{22} & -\frac{5}{22} \\ -\frac{5}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \end{array} \right)$

On peux aussi trouver ou vérifier la solution:

$\begin{bmatrix} x \\y \\ z\end{bmatrix} =\left( \begin{array}{ccc} \frac{2}{11} & \frac{3}{11} & \frac{2}{11} \\ -\frac{8}{11} & \frac{9}{22} & -\frac{5}{22} \\ -\frac{5}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \end{array} \right) \times \left(\begin{array}{c} 1 \\ -4 \\ 22 \end{array}\right)\\ \\ \begin{bmatrix} x \\y \\ z\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{34}{11} \\-\frac{81}{11} \\ -\frac{8}{11} \end{bmatrix} $
Rappel d'opérations sur les Matrices

Rappel sur les matrices de rotations

Si les angles $\alpha$, $\beta$, et $\gamma$ sont respectivements les angles autour de $\vec x$,$\vec y$ et $\vec z$ les matrices de rotation sont les suivantes:
$\begin{array}{c c c} Rot_X(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \alpha & -sin \alpha \\ 0 & sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} & Rot_Y(\beta)=\begin{pmatrix} cos \beta & 0 & sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin \beta & 0 & cos \beta \end{pmatrix} & Rot_Z(\gamma)=\begin{pmatrix} cos \gamma & -sin \gamma & 0 \\ sin \gamma & cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \end{array}$
représente une rotation dont le lacet, le tangage et le roulis (également appelé angles de Cardan) ou en aéronautique (z:)Azimuth=lacet=yaw - $\alpha$ ; (y:)Tanguage=pitch - $\gamma$; (x:)Roulis=roll - $\beta$


Produit de matrice

$\forall i,j:c_{{ij}}=\sum_{{k=1}}^{n}a_{{ik}}b_{{kj}}=a_{{i1}}b_{{1j}}+a_{{i2}}b_{{2j}}+\cdots +a_{{in}}b_{{nj}}$
Soit le produit de deux matrices $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ de type $(m,n)$ noté $A\cdot B=(c_{ij})$, est une matrice de type $(m,n)$ donnée par $c_{ij}=a_{ij}\times b_{ij}$
Exemple :
$A_{ij}\cdot B_{ij} =C_{ij}$
$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4\\ 1 & 0 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 2 & 3\\ 4 & 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 2\\ 7 & 5 & 0 & 8 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\2 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=$
$=\tiny\begin{pmatrix} (1\times 5+3\times 7+2\times 2+4\times 2) & (1\times 0+3\times 5+2\times 1+4\times 1) & (1\times 0+3\times 0+2\times 1+4\times 1) & (1\times 2+3\times 8+2\times 1+4\times 0) \\ (1\times 5+0\times 7+0\times 2+2\times 2) & (1\times 0+0\times 5+0\times 1+2\times 1) & (1\times 0+0\times 0+0\times 1+2\times 1) & (1\times 2+0\times 8+0\times 1+2\times 0) \\ (1\times 5+2\times 7+2\times 2+3\times 2) & (1\times 0+2\times 5+2\times 1+3\times 1) & (1\times 0+2\times 0+2\times 1+3\times 1) & (1\times 2+2\times 8+2\times 1+3\times 1)\\ (4\times 5+3\times 7+5\times 2+1\times 2) & (4\times 0+3\times 5+5\times 1+1\times 1) & (4\times 0+3\times 0+5\times 1+1\times 1) & (4\times 2+3\times 8+5\times 1+1\times 0) \end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix} 38 & 21 & 6 & 28 \\ 9 & 2 & 2 & 2 \\ 29 & 15 & 5 & 20 \\ 53 & 21 & 6 & 37 \end{pmatrix}$

Transposé de matrice

C'est une opération simple, ou l'on inverse les lignes et les colonnes
$A=\begin{pmatrix} 38 & 21 & 6 & 28 \\ 9 & 2 & 2 & 2 \\ 29 & 15 & 5 & 20 \\ 53 & 21 & 6 & 37\\ \end{pmatrix}$
$A^T=\begin{pmatrix} 38 & 9 & 29 & 53 \\ 21 & 2 & 15 & 21 \\ 6 & 2 & 5 & 6 \\ 28 & 2 & 20 & 37 \\ \end{pmatrix}$

Le cofacteur Coef

de la forme $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$
La methode sera la même pour exprimer les thermes.
Exemple du cofacteur $C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}$ cela tiens compte du signe. $C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}$. C'est bien la somme des cofacteurs qui donne le determinant.

Exemple avec des valeurs

$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$C_{11}=+\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=0\times 2-0\times 2=0$ $C_{12}=-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-(1\times 2-0\times 1)=-2$ $C_{13}=+\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\times 2-0\times 1=2$
$C_{21}=-\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=-(3\times 2-2\times 2)=-2$ $C_{22}=+\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\times 2-1\times 2=0$ $C_{23}=-\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-(1\times 2-3\times 1)=1$
$C_{31}=+\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}=3\times 0-2\times 0=0$ $C_{32}=-\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-(1\times 0-2\times 1)=2$ $C_{33}=+\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=1\times 0-3\times 1=-3$
$Coef(A)=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}$

La matrice adjointe Adj

La matrice adjointe n’est rien d’autre que la matrice cofacteur de A transposé. Elle se note : $Adj(A)=(Coef(A))^T$
Pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$Adj(A)=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

Le déterminant d'une matrice

Le déterminant d’une matrice n’existe que pour les matrices carrées.
Pour calculer le déterminant, il faut faure la somme des cofacteurs, le resultat est un scalaire, donc un nombre
$det(A)=a{11}\cdot C_{11}+a{12}\cdot C_{12}+a{13}\cdot C_{13}+a{21}\cdot C_{21}+a{22}\cdot C_{22}+a{23}\cdot C_{23}+a{31}\cdot C_{31}+a{32}\cdot C_{32}+a{33}\cdot C_{33}$
Pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$det(A)=0+(-2)+2+(-2)+0+1+0+2+(-3)=-2$

L'inverse d'une matice

Pour calculer l'inverse d'un matrice, il nous faut son déterminant et sa matrice adjointe.
L'inverse d'un matrice obéit à l'équation $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$, pour rappel $I_n$ est la matrice unité de la forme $I_n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\times Adj(A)$
Pour $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\times\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -0.5 & 1.5 \end{pmatrix}$

Matice pseudo-inverse

Cette matrice à pour objectif d'un approximation des moindres carrés, il y a plus de d'équation que de variable, la matrice est donc rectangulaire.
La matrice pseudo-inverse ou inverse de Moore-Penrose, notée $A^+=(A^T\cdot A)^{-1}A^T$
Pour $A=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
$A^+=\Biggl(\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\Biggl)^{-1}\times \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$
$A^+=\begin{bmatrix} 9 & -16 \\ -16 & 29 \end{bmatrix}^{-1}\times \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$
$A^+=\begin{bmatrix} \dfrac{29}{5} & \dfrac{16}{5} \\ \dfrac{16}{5} & \dfrac{9}{5} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$

$A^+=\begin{bmatrix} \dfrac{-3}{5} & -2 & \dfrac{-6}{5} \\ \dfrac{-2}{5} & -1 & \dfrac{-4}{5}\end{bmatrix}$