- Objectif :Imprimer en utilisant le principe du pantographe au moyen de 2 servos.
- Moyen:
- Utilisation d'un processeur Attiny85 20PU
- Énergie utilisée : Alim 230V AC -> 5V DC
- Moteur : 3x à définir
Principe de fonctionnement et mathématiques
Hypothèse et paramètrage
Soit la position d'un stylo $(X_S,Y_S)$, pour arriver à cette position quatre barres $L_{11},L_{12},L_{21},L_{22}$ de longueurs à définir, piloter par deux servos.La position d'origine est donnée par la moteur bas $(X_0,Y_0)$, le moteur haut à donc comme coordonnées $(X_0,Y_1)$.
- Chaque servo-moteur à un angle maximal de 180° (-90°,+90° par rapport à l'abscisse).
- Le pentagone constituée des 5 points $O_S,O_1,O_B,O_H,O_2$ doit être convexe c'est à dire que les 5 angles internes doivent être tous inférieurs à 180° et leur somme egale à 540°.
- La distance du point $O_S$ aux axes des 2 servos $O_H$ et $O_B$ doit être inférieure ou égale à la somme la plus petite de $L_{21}+L_{22}$ ou $L_{11}+L_{12}$.
Calcul en fonction de la position du stylo
L'objectif des calculs est de connaitre la rotation de chaque servo $(\theta_0,\theta_1)$ pour que le stylo atteingne la position $(X_S,Y_S)$Tout d'abord je recherche la position de $O_1$ qui est l'intersection des cercles $(O_B,L_{11})~et~(O_S,L_{12})$.
Equation du premier cercle:
$L_{11}^2=(X_0-X_1)^2+(Y_0-Y_1)^2$
Equation du deuxième cercle:
$L_{12}^2=(X_S-X_1)^2+(Y_S-Y_1)^2$
En dévéloppant les équations nous avons :
(1) : $L_{11}^2=X_0^2+X_1^2-2\cdot X_0\cdot X_1+Y_0^2+Y_1^2-2\cdot Y_0\cdot Y_1$
(2) : $L_{12}^2=X_S^2+X_1^2-2\cdot X_S\cdot X_1+Y_S^2+Y_1^2-2\cdot Y_S\cdot Y_1$
Faisons (1)-(2), on a :
$L_{11}^2-L_{12}^2=X_0^2+X_1^2-2\cdot X_0\cdot X_1+Y_0^2+Y_1^2-2\cdot Y_0\cdot Y_1 -X_S^2-X_1^2+2\cdot X_S\cdot X_1-Y_S^2-Y_1^2+2\cdot Y_S\cdot Y_1$
$L_{11}^2-L_{12}^2=X_0^2-X_S^2+2X_1(X_S-X_0)+Y_0^2-Y_S^2+2Y_1(Y_S-Y_0)$
$L_{11}^2-L_{12}^2-X_0^2+X_S^2-2X_1(X_S-X_0)-Y_0^2+Y_S^2=2Y_1(Y_S-Y_0)$
$\dfrac{L_{11}^2-L_{12}^2-X_0^2+X_S^2-Y_0^2+Y_S^2}{2(Y_S-Y_0)}-X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)=Y_1$
Posons $N=\dfrac{L_{11}^2-L_{12}^2-X_0^2+X_S^2-Y_0^2+Y_S^2}{2(Y_S-Y_0)}$
Donc $Y_1=N-X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)$
et $Y_1^2=N^2+X_1^2\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)^2-2N\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)$
Remplaçons dans l'équation (2):
$L_{12}^2=X_S^2+X_1^2-2\cdot X_S\cdot X_1+Y_S^2+N^2+X_1^2\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)^2-2N\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-2 Y_S\left[N-X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)\right]$
$L_{12}^2=X_S^2+X_1^2-2\cdot X_S\cdot X_1+Y_S^2+N^2+X_1^2\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)^2-2N\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-2 Y_S\cdot N +2Y_S\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)$
$X_S^2+X_1^2-2\cdot X_S\cdot X_1+Y_S^2+N^2+X_1^2\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)^2-2N\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-2 Y_S\cdot N +2Y_S\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-L_{12}^2=0$
Une petite mise en facteur :
$X_1^2\left[\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)^2+1\right] +X_1\left[2Y_S\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-2N\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-2X_S\right] +\left[X_S^2 +Y_S^2+N^2-2 Y_S\cdot N -L_{12}^2\right]=0$
Soit une simple équation du second degré de la forme $Ax^2+Bx+C=0$
Calcul approche angulaire en fonction de la position du stylo
Hypothèse : Soit la position d'un stylo $(X_S,Y_S)$, pour arriver à cette position quatre barres $L_{11},L_{12},L_{21},L_{22}$ de longueurs à définir, piloter par deux servos moteurs.
La position d'origine est donnée par la moteur bas $(X_0,Y_0)$, le moteur haut à donc comme coordonnées $(X_0,Y_0+E)$.
$L_1=\sqrt{X_S^2 + Y_S^2}\\ L_2=\sqrt{X_S^2 + (Y_S-Y_1)^2}\\ \\ \alpha_1 = \arctan2(X_S,Y_S)\\ \beta_1 = \arctan2(X_S,Y_S-E)\\ \\ \alpha_2= \arccos\dfrac{L_{11}^2+L_1^2-L_{12}^2}{2\cdot L_{11}\cdot L_1}\\ \beta_2= \arccos\dfrac{L_{21}^2+L_2^2-L_{22}^2}{2\cdot L_{21}\cdot L_2}\\ \\ \alpha=\alpha_1-\alpha_2\\ \beta=\beta_1+\beta_2\\ $