Le pantographe

Projet de traçage pantographe.

Projet de traçage de circuits imprimés.
Tracer avec deux servomoteurs, pour l'instant le fonctionnement est encore balbutiant.

Principe de fonctionnement et mathématiques

Hypothèse et paramètrage

Soit la position d'un stylo $(X_S,Y_S)$, pour arriver à cette position quatre barres $L_{11},L_{12},L_{21},L_{22}$ de longueurs à définir, piloter par deux servos.
La position d'origine est donnée par la moteur bas $(X_0,Y_0)$, le moteur haut à donc comme coordonnées $(X_0,Y_1)$.
Calcul en fonction de la position du stylo L'objectif des calculs est de connaitre la rotation de chaque servo $(\theta_0,\theta_1)$ pour que le stylo atteingne la position $(X_S,Y_S)$
Tout d'abord je recherche la position de $O_1$ qui est l'intersection des cercles $(O_B,L_{11})~et~(O_S,L_{12})$.
Equation du premier cercle:
$L_{11}^2=(X_0-X_1)^2+(Y_0-Y_1)^2$
Equation du deuxième cercle:
$L_{12}^2=(X_S-X_1)^2+(Y_S-Y_1)^2$
En dévéloppant les équations nous avons :
(1) : $L_{11}^2=X_0^2+X_1^2-2\cdot X_0\cdot X_1+Y_0^2+Y_1^2-2\cdot Y_0\cdot Y_1$
(2) : $L_{12}^2=X_S^2+X_1^2-2\cdot X_S\cdot X_1+Y_S^2+Y_1^2-2\cdot Y_S\cdot Y_1$
Faisons (1)-(2), on a :
$L_{11}^2-L_{12}^2=X_0^2+X_1^2-2\cdot X_0\cdot X_1+Y_0^2+Y_1^2-2\cdot Y_0\cdot Y_1 -X_S^2-X_1^2+2\cdot X_S\cdot X_1-Y_S^2-Y_1^2+2\cdot Y_S\cdot Y_1$
$L_{11}^2-L_{12}^2=X_0^2-X_S^2+2X_1(X_S-X_0)+Y_0^2-Y_S^2+2Y_1(Y_S-Y_0)$
$L_{11}^2-L_{12}^2-X_0^2+X_S^2-2X_1(X_S-X_0)-Y_0^2+Y_S^2=2Y_1(Y_S-Y_0)$
$\dfrac{L_{11}^2-L_{12}^2-X_0^2+X_S^2-Y_0^2+Y_S^2}{2(Y_S-Y_0)}-X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)=Y_1$

Posons $N=\dfrac{L_{11}^2-L_{12}^2-X_0^2+X_S^2-Y_0^2+Y_S^2}{2(Y_S-Y_0)}$
Donc $Y_1=N-X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)$
et $Y_1^2=N^2+X_1^2\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)^2-2N\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)$
Remplaçons dans l'équation (2):
$L_{12}^2=X_S^2+X_1^2-2\cdot X_S\cdot X_1+Y_S^2+N^2+X_1^2\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)^2-2N\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-2 Y_S\left[N-X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)\right]$
$L_{12}^2=X_S^2+X_1^2-2\cdot X_S\cdot X_1+Y_S^2+N^2+X_1^2\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)^2-2N\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-2 Y_S\cdot N +2Y_S\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)$
$X_S^2+X_1^2-2\cdot X_S\cdot X_1+Y_S^2+N^2+X_1^2\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)^2-2N\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-2 Y_S\cdot N +2Y_S\cdot X_1\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-L_{12}^2=0$

Une petite mise en facteur :
$X_1^2\left[\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)^2+1\right] +X_1\left[2Y_S\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-2N\left(\dfrac{X_S-X_0}{Y_S-Y_0}\right)-2X_S\right] +\left[X_S^2 +Y_S^2+N^2-2 Y_S\cdot N -L_{12}^2\right]=0$

Soit une simple équation du second degré de la forme $Ax^2+Bx+C=0$


Calcul approche angulaire en fonction de la position du stylo
Hypothèse : Soit la position d'un stylo $(X_S,Y_S)$, pour arriver à cette position quatre barres $L_{11},L_{12},L_{21},L_{22}$ de longueurs à définir, piloter par deux servos moteurs.
La position d'origine est donnée par la moteur bas $(X_0,Y_0)$, le moteur haut à donc comme coordonnées $(X_0,Y_0+E)$.

$L_1=\sqrt{X_S^2 + Y_S^2}\\ L_2=\sqrt{X_S^2 + (Y_S-Y_1)^2}\\ \\ \alpha_1 = \arctan2(X_S,Y_S)\\ \beta_1 = \arctan2(X_S,Y_S-E)\\ \\ \alpha_2= \arccos\dfrac{L_{11}^2+L_1^2-L_{12}^2}{2\cdot L_{11}\cdot L_1}\\ \beta_2= \arccos\dfrac{L_{21}^2+L_2^2-L_{22}^2}{2\cdot L_{21}\cdot L_2}\\ \\ \alpha=\alpha_1-\alpha_2\\ \beta=\beta_1+\beta_2\\ $

Exemple 1 : Tracé sans limite
Exemple 2 : Tracé parcourt