| Pour déplacer le stylo du point $A$ au point $B$, nous devons calculer la l'angle et la distance entre les coordonnées successives.
Nous irons toujours à l'angle le plus court, le stylo s'en fou de savoir si c'est en marche avant ou marche arrière.
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Le déplacement du stylo dépend de plusieurs paramètres :
- "D"Le diamètre de roue, nous prendrons Ø50mm sur un join torique pour limiter le glissement.
- "e" La distance entre les roues, 80mm devrais suffir pour tout placer.
- "nbp"Le nombre de pas par tour du moteur, avec un 28BYJ-48, cela représente 2048 pas par tour.
- Il est impératif que le stylo soit au milieu des deux roues, ça simplifie grandement les calculs.
Les roues sont donc indépendantes l'une de l'autre, ce qui permet d'avoir un déplacement angulaire précis.
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| Ne perdons pas de vue que l'ensemble est régis par des coordonnées cartésiennes purement théorique.
Même avec un très bonne précision des moteurs, il vas nous falloir corriger en permanence la trajectoire pour coller au réelle.
Un petit exeample sera plus simple a comprendre.
Pour déplacer le stylo du point $A(0,0)$ au point $B(0,50)$, en ligne droite, il suffit de faire tourner les deux roues d'une nombre de pas
ici 651.8986 pas, et comme les pas doivents être entier, 652 pas ,soit une erreur de 0.1014 pas soit 0.0078 mm , cette erreur pourrai-être négligeable, mais nous risquons de cumuler les erreurs tout au long du tracé.
C'est pour cette raison qu'une correction entre la position réelle et calculer s'impose.
Le point B(0,50) se trouve maintenant a B(0,50.007773685072)
Je vous donne tout de même le calcul:
- Diamètre : 50mm
- Distance a parcourir le long du chemin $y_B-y_A=50~mm$
- $pas=Distance\cdot \dfrac{2048}{\pi\cdot D}$ (13.037972938088 pas par mm)
";
Pour la valeur angulaire
$pas=angle\cdot \dfrac{2048}{360}$ (5.6888888888889 pas par °)";
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| Parlons maintenant, d'une rotation quelconque, afin que la position du déplacement du stylo soit continu, les deux roues tourneront en sens inverses.
$\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 50 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BC}= \begin{pmatrix} x_C-x_B \\ y_C-y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 10 \end{pmatrix}$
$\left\lVert\overrightarrow{AB}\right\rVert = \sqrt{0^2+50^2} = 50$
$\left\lVert\overrightarrow{BC}\right\rVert = \sqrt{50^2+10^2} = 50.99020$
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= x_{AB}\cdot x_{BC}+y_{AB}\cdot y_{BC} =0\times 50+50\times 10=500$
Le scalaire étant positif, le signe du $\cos$ sera positif.
$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}}{\left\lVert\overrightarrow{AB}\right\rVert \cdot \left\lVert\overrightarrow{BC}\right\rVert}
= \dfrac{500}{50\times 50.99020}=0.19612$
$\theta=\arccos(0,196116135)=78.69007 ^\circ$
Pour un calcul exacte de l'angle en tenant compte du signe:
$\theta=atan2(AB.y,AB.x)-atan2(BC.y,BC.x)-78.69007 ^\circ$
Et la distance $(AC)$:
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 0 \\ 50 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 50 \\ 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50 \\ 60 \end{pmatrix}$
$\left\lVert\overrightarrow{BC}\right\rVert = \sqrt{50^2+60^2} = 50.99020$
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Avec les hypothèses précédentes, l'erreur sur l'angle donne :
Pour la rotation
La distance a parcourir pour chaque roue $\dfrac{Entraxe}{2} \cdot \theta$
La distance par roue pour une angle de 78.69007° est donc de 54.93603mm
Mais ce qui nous importe c'est l'angle et l'erreur angulaire, alors un p'tit souvenir de mécanique, le rapport de transmission,
vas nous aider $\dfrac{\omega2}{\omega1}=\dfrac{D_1}{D_2}$, qui dans notre cas se transforme en $\dfrac{\alpha}{\theta}=\dfrac{Entraxe}{D}$.
L'angle de rotation de la roue devient un angle de 125.90411°
Pour l'angle de la roue716.2545 pas, et comme les pas doivents être entier, 716 pas ,soit une erreur de -0.2545 pas soit -0.0447 ° sur la roue.
Ce qui représente sur le contact entre la roue et le plan, un angle de 78.66211° soit un parcourt de 54.91651mm
Pour la distanceAvec les calculs précédent la distance réelle est de 50.00777
Pour ces petites distance la position du point C(50,60) sera C(50.009494280709,60.027280166281)
Quelques centième par point, au bout quelques centaine de point ou une distance plus grande, le defaut sera visible, il faut donc en tenir compte.
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Batterie Lipo 1S 3,7V 650mAh 25C 852540
Moteur 28BYJ-48 DC 5 V réduction pas à pas moteur pas à pas 4 phases Ø27mm 5V
MINI ULN2003 cinq lignes quatre phases
SS1200G3 Bouton Interrupteur 0.5A 50 V DC
Connecteurs Duponts femelles
